Подставив числовые значения, получим

Ответ:

 

Пример 3. Электрон обладает кинетической энергией МэВ. Во сколько раз изменится длина волны де Бройля, если кинетическая энергия электрона уменьшится вдвое?

Дано: МэВ = 1,63 Дж; МэВ =
= 8,16 Дж; кг; м/с.

Найти: .

Решение. Длина волны де Бройля для микрочастицы определяется по формуле

,

где h – постоянная Планка; p – импульс микрочастицы.

Пусть р ₁ – импульс электрона в начальном состоянии, р ₂ – импульс электрона в конечном состоянии. Тогда

, , а .

Найдем энергию покоя электрона

,

где m ₀ – масса покоя электрона; с – скорость света в вакууме.

Так как кинетическая энергия соизмерима с энергией покоя электрона, то при решении задачи необходимо учитывать релятивистские эффекты. В этом случае связь импульса с кинетической энергией частицы определяется формулой

.

Импульсы электрона в начальном и конечном состояниях равны соответственно

и .

Вычисления показали, что практически . Учитывая это, найдем отношение длин волн де Бройля

.

Анализ размерности полученного выражения показывает, что отношение величина безразмерная, и убеждает в правдоподобности ответа.

Выполним вычисления

.

Ответ: .

Пример 4. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальную энергию электрона , находящегося в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шириной l = 5 .

Дано: м; ; кг.

Найти: .

Решение. Соотношение неопределенностей Гейзенберга для координаты и импульса в случае одномерной задачи позволяет оценить неопределенность импульса электрона

, (1)

где неопределенность импульса; неопределенность координаты; постоянная Планка h, деленная на 2 .

Так как ширина «потенциальной ямы» равна l, и электрон находится в этой «яме», то неопределенность его координаты равна (рис. 2). Потенциальная энергия электрона внутри «ямы» равна нулю, следовательно, его полная механическая энергия Е равна кинетической . За пределами «ямы», ограниченной бесконечно высокими «стенками», .

Связь импульса p с кинетической энергией электрона для нерелятивистского случая имеет вид (учитываем, что по условию задачи )

,

где m ₀ – масса покоя электрона.

Выразим полную энергию Е в виде

.

Из этого уравнения видно, что энергия электрона тем меньше, чем меньше его импульс. Неопределенность значения импульса равна . Минимальное значение импульса электрона должно быть не меньше , то есть . Учитывая это, можем записать

.

Сделав подстановку из уравнения (1) с учетом того, что , придем к уравнению

.

Следовательно, минимальная энергия электрона

.

Анализ размерности убеждает, что ответ правдоподобен, так как энергия действительно измеряется в джоулях:

.

Подставим числовые значения в конечную формулу и выполним вычисления (оцениваем лишь порядок вычисляемой величины)

.

Ответ: .

 

Пример 5. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с непроницаемыми «стенками». Ширина «ямы» l = 37,8 эВ. Определить, на каком энергетическом уровне находится электрон. Чему равна плотность вероятности обнаружения электрона в середине «ямы»?

Дано: ; ; ; .

Найти: n; w.

Решение: Запишем уравнение Шредингера для стационарных состояний. Для рассматриваемой одномерной задачи это уравнение имеет вид

,

где координатная часть волновой функции, зависящая только от x; Е – полная энергия электрона; U – потенциальная энергия электрона; постоянная Планка h, деленная на 2π.

Электрон находится в «яме», где его потенциальная энергия
(рис. 3). За пределами «ямы», ограниченной бесконечно высокими «стенками», . Электрон не может проникнуть за пределы «ямы», поэтому вероятность его обнаружения (а, следовательно, и волновая функция) за пределами «ямы» равна нулю. Из условия непрерывности волновой функции следует, что должна быть равна нулю и на границах «ямы»:

.

В пределах «ямы» уравнение Шредингера имеет вид

. (1)

Это уравнение, описывающее дви-жение электрона в одномерной «потенциальной яме», удовлетворяется при ди-скретных значениях энергии электрона

,

где n – квантовые числа, определяющие энергетические уровни электрона.

Выразим из этой формулы n:

.

Анализ размерности правой части полученного выражения показывает, что n – величина безразмерная, и это соответствует действительности.

После подстановки числовых значений, данных в условии задачи, получим

.

Решение дифференциального уравнения (1) для рассматриваемой задачи имеет вид

.

Коэффициент А находим из условия нормировки

.

В результате интегрирования получаем , следовательно:

.

Плотность вероятности обнаружения электрона на различных расстояниях x от стенок «ямы» для рассматриваемой задачи равна

.

Выполним анализ размерности (выражение под знаком sin безразмерное):

.

Полученная единица соответствует искомой величине.

Вычислим значение w при n = 2 для
x = l /2:

.

Такой результат означает, что в состоянии с n = 2 электрон не может находиться в середине «ямы». Зависимость плотности вероятности обнаружения электрона на различных расстояниях от стенок «ямы» приведена на рис. 4.

Ответ: n = 2; w = 0.

 

Пример 5. Пси-функция некоторой частицы имеет вид , где r – расстояние частицы от силового центра, 0 м – константа. Найти значение коэффициента А и наиболее вероятное расстояние r _вер частицы от центра.

Дано: ; а = 1,0 м.

Найти: А; r _вер.

Решение. Движение микрочастицы в центральном силовом поле (например, движение электрона в поле положительно заряженного ядра) описывается уравнением Шредингера в сферических координатах. По условию задачи функция зависит только от r и не зависит от углов и . В этом случае уравнение Шредингера для стационарных состояний принимает вид

где r – расстояние микрочастицы от силового центра; m ₀ – масса покоя микрочастицы; – постоянная Планка h, деленная на 2 ; Е – полная энергия микрочастицы; U – потенциальная энергия микрочастицы.

Перепишем уравнение Шредингера, выполнив дифференцирование в первом слагаемом:

.

Решение этого дифференциального уравнения по условию задачи имеет вид

.

Коэффициент А найдем из условия нормировки пси-функции, которое для рассматриваемой задачи запишем в виде

,

где dV - элемент объема в сферических координатах .

Интеграл в полученном выражении равен (табл. 6 приложения), следовательно:

и .

Выполним анализ размерности полученного выражения

.

Анализ размерности подтверждает правдоподобность ответа. Действительно, квадрат модуля волновой функции имеет смысл плотности вероятности обнаружения микрочастицы

,

где dW – вероятность нахождения частицы в элементе объема .

Так как размерность , то размерность .

Выполним вычисления

Вероятность нахождения микрочастицы на расстоянии между r и r+dr от силового центра в любом направлении определяется формулой

Следовательно, плотность вероятности

.

Из формулы видно, что плотность вероятности обращается в нуль при r = 0 и асимптотически стремится к нулю при . Наиболее вероятное расстояние r _вер частицы от силового центра найдем из условия, что при r = r _вер плотность вероятности должна быть максимальна. Для этого исследуем функцию на экстремум. Найдем первую производную и приравняем ее к нулю

; .

Это равенство выполняется при r = 0; ; r = a. Первые два решения соответствуют минимумам функции . Следовательно, наиболее вероятное расстояние микрочастицы от силового центра .

Ответ: ; r _вер = 1,0 .

 

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ
И ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

 

1. Распределение свободных электронов в металле по состояниям с различной энергией при Т = 0 К

,

где dn_E – количество свободных электронов в единице объема металла (концентрация электронов), энергии которых заключены в пределах от Е до E + dE; m ₀ – масса покоя электрона.

2. Энергия Ферми в металле при Т = 0 К

,

где n – концентрация электронов проводимости в металле.

3. Температура вырождения (температура Ферми)

,

где энергия Ферми при Т = 0 К; k – постоянная Больцмана.

Температурой вырождения Т_F называют температуру, ниже которой проявляются квантовые свойства электронного газа. Если T >> , то поведение системы частиц подчиняется классической статистике.

4. Температурная зависимость удельной электрической проводимости собственных полупроводников

,

где множитель, мало изменяющийся с изменением температуры; ширина запрещенной зоны.

 

Пример 7. Определить отношение концентраций свободных электронов при Т = 0 К в литии n ₁ и цезии n ₂, если известно, что уровни Ферми в этих металлах соответственно равны и

Дано: ; .

Найти: n ₁/ n ₂.

Решение. Уровень Ферми при абсолютном нуле определяется выражением

,

где постоянная Планка h, деленная на 2π; масса покоя электрона; количество свободных электронов в единице объема металла.

Используя эту формулу, запишем соотношения, определяющие концентрации n ₁ и n ₂ свободных электронов в литии и цезии:

; .

Выполним анализ размерности

Полученный результат соответствует действительности.

Найдем отношение концентраций свободных электронов

.

Подставим в это выражение числовые значения и выполним вычисления

.

Ответ:

 

Пример 8. Найти относительное количество Δ N / N свободных электронов в металле, кинетическая энергия которых отличается от энергии Ферми не более, чем на η = 2,0%. Температура металла Т = 0 К.

Дано: Т = 0 К; η = 0,02 (2,0%).

Найти: ∆ N / N.

Решение. Распределение свободных электронов в металле по состояниям с различной энергией при Т = 0 К имеет вид

,

где dn_E – концентрация свободных электронов, энергии которых заключены в пределах от Е до Е + dE; m ₀ – масса покоя электрона; ħ – постоянная Планка h, деленная на 2π.

Концентрацию свободных электронов в металле найдем путем интегрирования

,

где энергия Ферми при Т = 0 К; .

Если образец металла имеет объем , то количество свободных электронов в этом образце

.

Концентрация свободных электронов, энергии которых отличаются от энергии Ферми не более, чем на 2%, равна

.

Количество таких электронов в образце металла объемом

.

Найдем относительное количество свободных электронов, кинетическая энергия которых отличается от энергии Ферми не более, чем на 2%:

.

Произведя вычисления, получим

.

Ответ: (или 3%).