Дискретные и непрерывные случайные величины.

РЯД РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ИНТЕГРАЛЬНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

Студент должен знать:

- понятие случайной величины и ее виды;

- способы задания случайной величины;

- закон распределения случайной величины;

Студент должен уметь:

- строить ряд распределения случайной величины;

- находить функцию распределения случайной величины.

Литература: [5] стр.60-72.

Основные теоретические сведения

Величина, которая в результате опыта может принимать те или иные значения называются случайной величиной. Например, время ожидания автобуса на остановке, число свободных мест в вагоне поезда и т. д. Обозначать случайные величины будем заглавными латинскими буквами X, Y, Z и т. д.

Случайная величина называется дискретной, если мы можем перечислить все ее возможные значения и указать вероятность каждого значения.

Возможных значений может быть бесконечно много. Обычная дискретная величина задается рядом распределения в виде следующей таблицы.

X				...
P				...

Здесь, - все возможные различные значения случайной величины, а - вероятности, с которой случайная величина принимает соответствующие значения,

Не всегда можно задать случайную величину, указав вероятность каждого отдельного значения. В ряде случаев вероятность каждого отдельного значения равна 0. Любую случайную величину можно задать, указав ее функцию распределения.

Функция F(x)=P(X<x) называется интегральной функцией распределения случайной величины X или просто функцией распределения.

Функция распределения обладает следующими свойствами.

1. Монотонностью, то есть, если то

2. Для любых справедливо

3.

С помощью функции распределения можно подсчитать вероятность попадания случайной величины Х в интервал [a, b).

Назовем случайную величину непрерывной, если непрерывна ее функция распределения F(x).

Заметим, что в этом случае вероятность каждого значения случайной величины равна нулю.

Будем считать, что существует функция такая, что

при всех .

В этом случае функцию назовем плотностью распределения случайной величины Х или дифференциальной функцией распределения. Справедливо равенство

Вероятность попадания случайной величины Х в интервал (а,b) можно посчитать по формуле .

Свойство плотности распределения .

Примеры

Пример 1. Имеется 10 деталей, из них 6 стандартные. Составить ряд распределения числа стандартных деталей из двух выбранных.

Решение: Очевидно, что при выборе двух деталей, число стандартных деталей может оказаться равным 0, 1, 2, то есть мы имеем дело с дискретной случайной величиной. Найдем вероятность, с которой принимается каждое значение, и составим ряд распределения. Считаем, что выбор каждой детали равновозможен, и применим для нахождения вероятностей классическое определение.

Число всех возможных исходов для выбора двух исправных деталей равно .

Число благоприятных вариантов для выбора только нестандартных деталей равно .

Число благоприятных вариантов для выбора одной исправной детали равно .

Число благоприятных вариантов для выбора только стандартных деталей равно .

Таким образом,

Составим ряд распределения.

Х
Р

Для проверки убедимся, что сумма вероятностей равна 1.

Пример 2. В партии из семи деталей четыре окрашенные. Наудачу взяты три детали. Построить ряд и многоугольник распределения случайной величины - числа окрашенных деталей среди отобранных.

Решение: Случайная величина может принять следующие четыре значения: , , , . Вероятности этих значений равны:

, ,

Складывая полученные вероятности, имеем:

.

Составим ряд распределения:

x
p	1/35	12/35	18/35	4/35

 

 

Построим многоугольник распределения случайной величины Х (рис.4).

Рисунок 4. Многоугольник распределения

Пример 3. Найти интегральную функцию распределения случайной величины Х, заданной рядом распределения. Построить ее график.

	-1
p	0,1	0,4	0,5

Решение. Чтобы найти вероятность события Х< x, разобьем числовую ось на интервалы точками – 1, 0 и 2. Если , то событие невозможно и в этом случае . Если то событие имеет место тогда и только тогда, когда , то есть

-1 0 2 х

Если , то событие может произойти только в том случае, если Х = -1 или Х = 0, то есть

И, наконец, если , то событие достоверно и

На координатной плоскости построим график (рис.4).

F(x)

0,5

0,1

-1 0 2 x

Рисунок 5. График интегральной функции распределения

Пример 4. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

X
p	0,3	0,1	0,6

 

Найти функцию распределения и начертить ее график.

Решение: Если , то , поскольку случайная величина не принимает значений меньших 1.

Если , то .

Если , то – на этом интервале принимает значение 1 с вероятностью 0,3 и значение 4 с вероятностью 0,1. Поскольку эти события несовместны, то по теореме сложения вероятностей 0,3 + 0,1 = 0,4.

Если , то .

Итак, функция распределения аналитически может быть записана так:

График данной функции:

Рисунок 5. График функции распределения.

Пример 5. Найти функцию плотности непрерывной случайной величины, заданной функцией распределения

Построить графики функций F(x) и f(x). Найти вероятность попадания в интервал .

Решение. Найдем дифференциальную функцию распределения (функцию плотности):

Построим график функции распределения (рис. 6) и график дифференциальной функции распределения (рис. 7)

F(x)

 

1

 

0 1 x

 

Рисунок 6. График интегральной функции распределения

f(х)

 

 

 

 

 

0 1 х

Рисунок 7. График дифференциальной функции распределения

Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал

 

Пример 6. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (0,1).

Решение: Вероятность того, что примет значение, заключенное в интервале , равна приращению функции распределения на этом интервале .

Положив , получим:

Пример 6. Разыгрываются две вещи стоимостью по 150 рублей и одна вещь стоимостью 300 рублей. Составьте закон распределения выигрышей, купившего 1 билет из 50.

Решение. Искомая случайная величина Х представляет собой выигрыш и может принимать три значения: х₁ = 0, х₂ = 150 и х₃ = 300 рублей.

Первому результату благоприятствует 47 случаев, второму результату – два случая и третьему – один случай. Найдем их вероятности:

; ; .

Закон распределения случайной величины имеет вид:

Значения xi
Вероятности pi	0.94	0.04	0.02

В качестве проверки найдем

.

 

Задачи

1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Х
Р	0,3	0,1		0,4

Построить многоугольник распределения и функцию распределения F(x).

2. Дан ряд распределения случайной величины

Х	-2	-1
Р		0,2	0,2	0,4	0,1

 

Требуется: а) построить многоугольник распределения;

б) построить F(x);

в) найти

3. В урне 5 белых и 25 черных шаров. Вынули 1 шар. Случайная величина Х – число вынутых белых шаров. Построить ряд распределения и функцию распределения F(x).

4. Устройство состоит из 3-х работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

5. Бросают 3 монеты. Требуются: построить ряд распределения и функцию распределения F(x) случайной величины Е, равную числу выпавших «решек».

6. Построить ряд распределения и функцию распределения F(x) числа попаданий мячом в корзину при двух бросках, если вероятность попадания равна 0,4.

7. В партии из 25 изделий, среди которых имеются 6 бракованных, выбраны случайным образом 3 изделия для проверки их качества. Построить ряд распределения числа бракованных изделий в выборке.

8. Случайная величина Е задана функцией распределения

Найти: а) f(x); б) ; в) .

 

9. Дано:

Построить и начертить ее график.

 

10. Дано:

а) Построить ; б) Найти: .

 

11. Дано:

Найти и построить ее график

 

12. Дано:

Найти: построить графики и .

 

13. Дано:

Найти: построить графики и

 

14. Дано:

Найти: построить графики и

 

15. Дано:

Найти: построить графики и

 

16. Дано:

Найти: построить графики и

 

17. Дано:

Найти: построить графики и

 

18. Дано:

Найти: построить графики и

 

19. Дано:

Найти:

 

20. Дано:

Найти:

 

21. Дано:

Найти:

 

22. Дано:

Найти:

 

23. Дано:

Найти:

 

24. Дано:

Найти:

 

25. Дано: Найти: С.

 

26. Дано: . Найти:

 

Ответы:

1. 2. в) 0,8. 3.

4.

Х
Р	0,729	0,243	0,027	0,001

 

5.

а)

Х
Р

 

б)

6.

Х
Р	0,729	0,243	0,027	0,001

7.

Х
Р	0,36	0,48	0,16

8. а) б) 0,25 в) 0,75

9. 10.

11.

20. 1, 25. С=1, 26. .