Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление

Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление

№	Содержание лекций	Стр.
3.1.	Определение числовой последовательности
3.2.	Задание числовой последовательности
3.3.	Понятие предела числовой последовательности
3.4.	Арифметические операции над последовательностями
3.5.	Ограниченные и неограниченные последовательности
3.6.	определение подпоследовательности
3.7.	Фундаментальные последовательности
3.8.	Монотонные последовательности
3.9.	Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства
3.10.	Вычисление предела последовательности

 

Определение числовой последовательности

Последовательность – это результат последовательного выбора элементов заданного множества. Она может быть составлена из чисел, точек, функций, векторов и т.д. Последовательность считается заданной, если указан закон, по которому каждому натуральному числу ставится в соответствие элемент некоторого множества. Последовательность записывается в виде , или кратко {x_n}. Заметим, что числовая последовательность является функцией, область определения которой совпадает с множеством натуральных чисел, т.е. числовая последовательность – это функция натурального аргумента: x_n = f(n). Элементы называются членами последовательности, - первым, - вторым, - общим ( -м) членом последовательности

 

 

Задание числовой последовательности

Аналитический способ - самый простой способ задания числовой последовательности. Это делают с помощью формулы, выражающей -й член последовательности через его номер , по которой можно вычислить любой член последовательности. Пример 3.1, если

, то , , , .

Другой способ - рекуррентный (от латинского слова recurrens - «возвращающийся»), когда задают несколько первых членов последовательности и правило, позволяющее вычислять каждый следующий член через предыдущие. Пример 3.2:

, . Можно найти , .

Из школьного курса известны примеры числовых последовательностей:

– арифметическая прогрессия – это такая числовая последовательность, в которой каждый член равен предыдущему, сложенному с постоянным для данной последовательности числом: ; формула общего члена: , где – первый член, а – разность прогрессии.

– геометрическая прогрессия – это такая числовая последовательность, в которой каждый член равен предыдущему, умноженному на постоянным для данной последовательности число: ; формула общего члена: , где – первый член, а – знаменатель прогрессии.

 

Теорема.

Если последовательность { x_n } сходится и ее предел равен a, то любая ее подпоследовательность также сходится и имеет тот же самый предел.

Если { x_n } – бесконечно большая последовательность, то любая ее подпоследовательность есть также бесконечно большая.

Фундаментальные последовательности

Определение.

1. Последовательность возрастает, если

x_n< : каждый член последовательности меньше последующего;

2. Последовательность убывает, если

(): каждый член последовательности больше последующего;

3. Последовательность не возрастает, если

: каждый член последовательности не меньше последующего;

4. Последовательность не убывает, если

(): каждый член последовательности не больше последующего;

5. Последовательность называется монотонной, если она является или возрастающей, или убывающей, или не возрастающей, или не убывающей.

6. У возрастающей ограниченной сверху последовательности есть предел. То же верно для убывающей ограниченной снизу последовательности.

7. Предел последовательности, все члены которой равны числу , равен .

8. Теорема 13. Если монотонная последовательность ограничена, то она сходится.

Доказательство. Так как последовательность ограничена, то множество ее элементов имеет точные верхнюю и нижнюю грани. Пусть – неубывающая последовательность и – точная верхняя грань множества ее элементов. Это означает, что для любого числа можно указать такой элемент , что и . Эти два неравенства равносильны неравенству или . Так как – неубывающая последовательность, то при выполняется или . Это означает, что при выполняется или . Таким образом, . Аналогично доказывается случай, когда – невозрастающая последовательность.

Замечание 1. Условие ограниченности монотонной последовательности представляет собой необходимое и достаточное условие ее сходимости. Действительно, по теореме 8 сходящаяся монотонная последовательность ограничена.

Замечание 2. Сходящаяся последовательность может и не быть монотонной. Например, последовательность сходится к числу ноль, но не является монотонной.

Замечание 3. Если последовательность неубывающая сходящаяся и - ее предел, то для всех номеров n выполняется неравенство . Аналогично, если невозрастающая сходящаяся последовательность и – ее предел, то для всех номеров n справедливо .

 

Теорема 13 (теорема Больцано-Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности действительных чисел, можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

.

Теорема (Вейерштрасс). Любая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Доказательство. Докажем теорему для монотонной возрастающей последовательности . Докажем, что точная верхняя граница для последовательности и будет ее пределом.

Действительно, по определению точной верхней границы

Кроме того, какое бы ни взять число , найдется такой номер , что

Так как последовательность монотонна, то при будет , а значит, и и выполняются неравенства

откуда и следует, что .

Эта замечательная теорема дает достаточные условия существования предела. Из нее, например, следует, что последовательность площадей правильных -угольников, вписанных в окружность единичного радиуса, имеет предел, так как является монотонно возрастающей и ограниченной сверху. Предел этой последовательности обозначается .

С помощью предела монотонной ограниченной последовательности определяется играющее большую роль в математическом анализе число - основание натуральных логарифмов:

. Некоторые замечательные пределы.

 

Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление

№	Содержание лекций	Стр.
3.1.	Определение числовой последовательности
3.2.	Задание числовой последовательности
3.3.	Понятие предела числовой последовательности
3.4.	Арифметические операции над последовательностями
3.5.	Ограниченные и неограниченные последовательности
3.6.	определение подпоследовательности
3.7.	Фундаментальные последовательности
3.8.	Монотонные последовательности
3.9.	Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства
3.10.	Вычисление предела последовательности