Предел числовой последовательности и его геометрический смысл

Рассмотрим поведение членов последовательности при неограниченном возрастании номера (это означает, что и читается: « стремится к бесконечности»).

Определение 3.1. (определение предела последовательности). Число а называется пределом последовательности , если для любого положительного числа можно указать такой номер (натуральное число) (N зависит от ), что при всех номеров выполняется неравенство (модуль разности -ого члена последовательности и числа меньше ). Это записывают или ( – три первые буквы латинского слова «limes» – «предел»). Кратко это можно записать с помощью логической символики следующим образом:

.

Геометрический смысл определения предела последовательности заключается в том, что независимо от малости интервала с центром в точке все члены последовательности с номерами, большими некоторого числа , будут находиться в этом интервале; а вне указанного интервала может находиться лишь конечное число членов последовательности. Это следует неравенство эквивалентно неравенству

, которые справедливы для всех членов последовательности с номерами , где число определяется наперед заданным сколь угодно малым положительным числом . В этом случае точка называется предельной точкой последовательности .

Последовательность может иметь несколько предельных точек.

Пример3.1 последовательности, имеющей две предельные точки. Последовательность имеет две предельные точки 0 и 2.

Если все члены последовательности принимают одно и то же числовое значение, то предел этой последовательности равен этому значению.

Пример3.2. Последовательность , элементами которой являются числа 2,2,2,..., имеет предел 2. В самом деле,

, последнее неравенство выполняется, начиная с первого члена, т.к. .

Не у всякой последовательности существует предел. Например, если взять последовательность , то у неё не будет предела. Ее члены попеременно равны и , и не стремятся ни к какому пределу.

Определение 3.2. Последовательностьназывается сходящейся,если у неё существует единственный конечный предел, и называется расходящейся, если нет предела. В общем случае пределов может быть несколько.

В определении 3.1 число ассоциировалось с конечным числом. Но определение предела можно расширить и на бесконечные значения: и . Например,

– предел последовательности равен , если для любого сколь угодно большого положительного числа найдется такое натуральное число , что все члены последовательности с номерами большими, чем , будут больше заданного числа .

– предел последовательности равен , если для любого сколь угодно большого положительного числа найдется такое натуральное число , что все члены последовательности с номерами большими, чем , будут меньше, чем число .

Термин «сходящаяся последовательность» не распространяется на последовательности с бесконечными пределами.

Пример сходящейся последовательности: последовательность называется гармонической; её предел равен нулю, она состоит из элементов