Тема: «Векторы на плоскости и в пространстве»

Тема: «Векторы на плоскости и в пространстве»

1. Понятие вектора

Векторы находят широкое применение в математике, физике, механике и других дисциплинах, упрощают вывод многих формул, решение многих задач, доказательство теорем.

Слово «вектор» происходит от латинского слова «vector» - переноситель, несущий.

Рассмотрим упорядоченную пару несовпадающих точек (А;В). Соединим точку А с точкой В и укажем направление от А к В. С помощью этой пары зададим преобразование плоскости (пространства). Каждой точке М плоскости (пространства) поставим в соответствие точку М₁ плоскости (пространства) (ее образ), которая получится в результате следующего построения: приняв точку М за начало, проводим луч т, одинаково направленный с лучом АВ. На луче т имеется единственная точка М₁, удаленная от точки М на расстояние, равное АВ.

 

 

Такое преобразование плоскости (пространства), определяемое упорядоченной парой точек называется «параллельным переносом» или «вектором».

 

Определение: Вектором или параллельным переносом, определяемым упорядоченной парой точек (А;В), называется преобразование плоскости (пространства), при котором каждая точка М плоскости (пространства)отображается на точку М₁ плоскости (пространства) так, что луч ММ₁ одинаково направлен с лучом АВ и расстояние ММ₁ равно расстоянию АВ.

Определение: Нулевым вектором называется вектор, начало которого совпадает с его концом. – нулевой вектор.

Вывод:

1. Любой ненулевой вектор задается упорядоченной парой несовпадающих точек.
2. Любой ненулевой вектор изображается направленным отрезком.

 

Обозначение:

А – начало вектора

В – конец вектора

Определение: Направлением ненулевого вектора называется направление луча АВ.

Определение: Длиной вектора (абсолютной величиной, модулем) называется расстояние между его началом и концом.

Определение: Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором.

Вывод:

1. Любой ненулевой вектор характеризуется направлением и абсолютной величиной.
2. Длина нулевого вектора равна нулю, понятие направления не определено.

Определение: Два вектора называются одинаково направленными, если они имеют одинаковые направления. (Рис. 1)

Определение: Два вектора называются равными, если они имеют одинаковые направления и длины. (Рис. 3)

Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3.

 

 

Û и

и и и

одинаково направленные векторы равные векторы

Векторы имеют одинаковую длину

Определение: Векторы, направления которых противоположны, называются противоположно направленными.

Определение: Векторы, направления которых противоположны, а длины равны, называются противоположными.

Замечание: Если и противоположные векторы, то пишут или .

Рис. 1. Рис. 2.

и |а | = |b |

и и

Противоположно направленные противоположные векторы

Векторы

1. Действия над векторами на плоскости

2.1. Сложение векторов.

Пусть вектор отображает точку М на точку М₁; вектор отображает точку М₁ на точку М₂ . Тогда существует вектор, отображающий точку М на точку М₂.

Определение: Пусть вектор отображает точку М на точку М₁; вектор отображает точку М₁ на точку М₂ . Вектор, отображающий точку М на точку М₂ , называется композицией векторов и .

Определение: Суммой векторов и называется композиция этих векторов.

 

Рис. 1. Рис. 2.

 

«Правило треугольника»: Чтобы сложить и по «правилу треугольника», надо от произвольной точки плоскости отложить , от конца отложить . Суммой векторов и будет вектор , начало которого совпадет с началом , конец - с концом . (Рис. 1.)

«Правило параллелограмма»: Чтобы сложить и по «правилу параллелограмма», надо от произвольной точки на плоскости отложить и и на них, как на сторонах, построить параллелограмм. Суммой векторов и будет вектор , изображаемый диагональю параллелограмма, идущей из их общего начала. (Рис. 2.)

 

При сложении нескольких векторов пользуются правилом многоугольника.

 

«Правило многоугольника»:

 

Чтобы сложить несколько векторов по «правилу многоугольника», надо отложить от произвольной точки плоскости первый вектор, от конца первого вектора отложить второй вектор, от конца второго – третий и т.д. Вектором суммы будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом последнего вектора.

Пример:

Дано:

Построить:

 

 

Вычитание векторов

Определение: Разностью двух векторов и называется сумма вектора и вектора, противоположного вектору .

Правило: Разностью двух векторов является вектор, начало которого совпадает с концом вектора – вычитаемого, а конец – с концом вектора –уменьшаемого, если они отложены от одной точки.

Умножение вектора на число

Определение: Произведением ненулевого вектора на число х, неравное нулю, называется вектор , длина которого равна , а направление совпадает с направлением , если х > 0, и противоположно ему, если

х < 0.

Замечание: Произведение нулевого вектора на любое число и произведение любого вектора на нуль по определению считается равным нулевому вектору.

; .

Пример: Дано: ; х₁ = - 2; х₂ = 3; х₃ = .

Построить: - 2 ; 3 ; .

Упражнения:

1. По данным векторам и построить следующие векторы:

2. Найти сумму изображенных на рисунке векторов.

3. По данным векторам , и построить следующие векторы:

1. Декартова система координат на плоскости

Векторы векторы

Вывод: Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

О у – ось ординат.

Замечание: Любой вектор может быть единственным образом разложен по базисным векторам и : . Числа х и у называются координатами вектора в данной декартовой системе координат.

 

Определение: Декартова система координат на плоскости называется прямоугольной, если базисные векторы взаимно перпендикулярны и единичны.

– прямоугольная декартова система координат на плоскости.

.

О – начало координат;

Ох – ось абсцисс;

Оу – ось ординат.

Замечание:

1. Базисные векторы в прямоугольной декартовой системе координат называются ортами.

2. Любой вектор может быть единственным образом разложен по ортам : . Числа х и у являются координатами вектора в данной прямоугольной декартовой системе координат.

Упражнения:

1. Доказать, что и коллинеарны.

2. В прямоугольнике АВСD проведены диагонали АС и ВD, пересекающиеся в точке О. , . Выразить через и следующие векторы:

4. Декартова система координат в пространстве

4. 1. Понятие компланарных векторов

Определение: Ненулевые вектора называются компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости.

Замечание: Любые два вектора всегда компланарны, а три вектора могут и не быть компланарными.

Векторы компланарны, а векторы компланарными не являются.

4. 2. Разложение вектора в пространстве по трем некомпланарным векторам

Теорема: Если даны три некомпланарных вектора , то любой вектор можно разложить по векторам единственным образом.

Дано: - некомпланарные векторы;

- произвольный вектор пространства.

Доказать: 1. - существует;

2. - единственное.

Оz – ось аппликат.

Замечание: Любой вектор может быть единственным образом разложен по базисным векторам : . Числа х, у, z называются координатами вектора в данной декартовой системе координат.

Определение: Декартова система координат в пространстве называется прямоугольной, если базисные векторы попарно взаимно перпендикулярны и единичны.

– прямоугольная декартова система координат в пространстве.

.

О – начало координат;

Ох – ось абсцисс;

Оу – ось ординат;

Оz – ось аппликат.

Замечание: 1. Базисные векторы в прямоугольной декартовой системе координат называются ортами.

2. Любой вектор может быть единственным образом разложен по ортам : . Числа х, у, z являются координатами вектора в данной прямоугольной декартовой системе координат.

Пример:

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – куб.

; ; .

M – середина AD;

H – середина DC;

F – середина AA₁;

N – середина A₁ B₁;

K – середина B₁ C₁;

L – середина D₁ C₁;

P – середина C₁ C.

Разложить векторы по векторам .

Решение:

Воспользуемся «правилом многоугольника» сложения нескольких векторов:

;

;

;

;

.

Упражнения:

1. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Являются ли компланарными следующие векторы:

а) г)

б) д)

в) е)

 

2. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ за базис взяты векторы ; ; ;

M – середина A₁ B₁; N – середина B₁ C₁; S – середина BC; Q – середина AD;

R – середина CD; T – середина BB₁; P – середина AB. Разложить по базису векторы .

 

5. Построение точек плоскости (пространства), заданных координатами

Пример:

Построить в точки

А(2; - 3);

В (- 1; 4);

С (- 3; - 2);

D(0; - 1).

 

 

Пример: Построить в точки

А(2; 3; 4);

В (- 1; - 3; 3);

С (0; 4; 2);

D(0; 0; 5);

Е(- 2; 0; 6).

 

 

6. Понятие радиус-вектора точки. Разложение радиус-вектора точки по ортам

Определение; Радиус-вектором точки называется вектор, начало которого совпадает с началом координат, а конец с данной точкой.

Вывод:

1. Каждой точке плоскости (пространства) соответствует свой радиус-вектор.

Рис. 1. Рис. 2.

Рис. 1.

В точка М (х; у) имеет радиус-вектор .

Рис. 2.

В точка М (х; у; z) имеет радиус-вектор .

Упражнения:

1. Определить координаты орт в и .

2. Построить радиус-векторы точек А (2; - 1; 4); В (- 3; 2; - 5); С (0; 0; 4).

3. Разложить радиус-векторы точек А (- 1; 4; 0); В (2; - 2; 5); С (0; 3; - 2) по ортам.

4. Определить координаты радиус-векторов точек М, К, L, E, H если:

.

 

7. Определение координат вектора на плоскости и в пространстве

Задача: Определить координаты в ,

если А (х₁; у₁) и В (х₂; у₂).

Дано:

;

А (х₁; у₁);

В (х₂; у₂).

Определить:

.

Решение:

Построим радиус-векторы точек А и В.

А (х₁; у₁) - разложение по ортам;

В (х₂; у₂) - разложение по ортам;

По правилу вычитания двух векторов можно представить в виде разности .

- разложение по ортам, где х = х₂ - х₁; у = у₂ - у₁.

Вывод: Разложить вектор по ортам, значит представить его в виде суммы произведений координат вектора на соответствующие орты.

. .

Правило: Чтобы определить координаты любого вектора, надо из координат конца этого вектора вычесть одноименные координаты его начала.

.

.

Пример: Определить координаты , если М (- 3; 0; 4) и N (1; - 5; - 3).

Дано: Решение:

Воспользуемся правилом определения координат вектора:

С (- 4; - 5); начала.

D (5; - 2). ; .

Тема: «Векторы на плоскости и в пространстве»

1. Понятие вектора

Векторы находят широкое применение в математике, физике, механике и других дисциплинах, упрощают вывод многих формул, решение многих задач, доказательство теорем.

Слово «вектор» происходит от латинского слова «vector» - переноситель, несущий.

Рассмотрим упорядоченную пару несовпадающих точек (А;В). Соединим точку А с точкой В и укажем направление от А к В. С помощью этой пары зададим преобразование плоскости (пространства). Каждой точке М плоскости (пространства) поставим в соответствие точку М₁ плоскости (пространства) (ее образ), которая получится в результате следующего построения: приняв точку М за начало, проводим луч т, одинаково направленный с лучом АВ. На луче т имеется единственная точка М₁, удаленная от точки М на расстояние, равное АВ.

 

 

Такое преобразование плоскости (пространства), определяемое упорядоченной парой точек называется «параллельным переносом» или «вектором».

 

Определение: Вектором или параллельным переносом, определяемым упорядоченной парой точек (А;В), называется преобразование плоскости (пространства), при котором каждая точка М плоскости (пространства)отображается на точку М₁ плоскости (пространства) так, что луч ММ₁ одинаково направлен с лучом АВ и расстояние ММ₁ равно расстоянию АВ.

Определение: Нулевым вектором называется вектор, начало которого совпадает с его концом. – нулевой вектор.

Вывод:

1. Любой ненулевой вектор задается упорядоченной парой несовпадающих точек.
2. Любой ненулевой вектор изображается направленным отрезком.

 

Обозначение:

А – начало вектора

В – конец вектора

Определение: Направлением ненулевого вектора называется направление луча АВ.

Определение: Длиной вектора (абсолютной величиной, модулем) называется расстояние между его началом и концом.

Определение: Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором.

Вывод:

1. Любой ненулевой вектор характеризуется направлением и абсолютной величиной.
2. Длина нулевого вектора равна нулю, понятие направления не определено.

Определение: Два вектора называются одинаково направленными, если они имеют одинаковые направления. (Рис. 1)

Определение: Два вектора называются равными, если они имеют одинаковые направления и длины. (Рис. 3)

Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3.

 

 

Û и

и и и

одинаково направленные векторы равные векторы