I. Определение. Каноническое уравнение.

def.

М

2с

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

 

Обозначим: М – произвольная точка гиперболы; – фокусы;

– расстояние между фокусами;

2а – постоянная величина, равнаяразности расстояний от М до фокусов.

(1) – по определению гиперболы

(«+», если ; «–», если ).

2с > 2а с>а (одна сторона больше разности двух других сторон).

у

М(x;y)

х

Введем прямоугольную систему координат: ось OX проведем через фокусы , начало координат поместим в середину отрезка . Ось OY через серединуотрезка перпендикуляно OX.

 

 

(2) – уравнение гиперболы в выбранной

системе координат.

Преобразовав это уравнение аналогично выводу в §3, получим:

(3) – каноническое уравнение гиперболы, где .

II. График гиперболы

1. Симметрия

Гипербола имеет две оси симметрии – ось Ox и ось Oy, и центр симметрии – начало координат O (0;0).

2. Вершины. Действительные и мнимые оси

Вершины гиперболы – это точки пересечения гиперболыс осями симметрии, т.е. с осью Ox и осью Oy.

С осью Ох: у =0 , .

С осью Оу: х =0 нет действительных корней, гипербола не пересекается с Оу.

Итак, две вершины: и .

def. Отрезок А ₁ А ₂ и его длина 2 а называется действительной осью гиперболы.

Возьмем на оси Оу две точки и .

def. Отрезок В ₁ В ₂ и его длина 2 b называется мнимой осью гиперболы.

а – действительная полуось, b – мнимая полуось гиперболы.

3.

М

l

Асимптоты гиперболы

def. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от точки М кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки М вдоль кривой в бесконечность.

Гипербола имеет две асимптоты:

, – уравнение асимптот гиперболы.

4. График гиперболы .

1) Построить (характеристический) прямоугольник со сторонами, параллельными осям Ох и Оу и проходящими на оси Ох на расстоянии а от точки О (0;0) по обе стороны, на оси Оу – на расстоянии b.

2) Провести асимптоты гиперболы по диагоналям прямоугольника.

3)

F 2

L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEAGb9ct8UA AADbAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbESPT4vCMBTE74LfITxhb5oqqKUaRQrisujBP5e9vW2e bbF5qU3U7n76jSB4HGbmN8x82ZpK3KlxpWUFw0EEgjizuuRcwem47scgnEfWWFkmBb/kYLnoduaY aPvgPd0PPhcBwi5BBYX3dSKlywoy6Aa2Jg7e2TYGfZBNLnWDjwA3lRxF0UQaLDksFFhTWlB2OdyM gq90vcP9z8jEf1W62Z5X9fX0PVbqo9euZiA8tf4dfrU/tYLpGJ5fwg+Qi38AAAD//wMAUEsBAi0A FAAGAAgAAAAhAPD3irv9AAAA4gEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54 bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAMd1fYdIAAACPAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAuAQAAX3JlbHMvLnJl bHNQSwECLQAUAAYACAAAACEAMy8FnkEAAAA5AAAAEAAAAAAAAAAAAAAAAAApAgAAZHJzL3NoYXBl eG1sLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQAZv1y3xQAAANsAAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAJgCAABkcnMv ZG93bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABAD1AAAAigMAAAAA " filled="f" stroked="f" strokeweight=".5pt">

–c

F 1

c

х

a

у

0

b

B 1

–b

B 2

A 2

A 1

–a

Вершины гиперболы в точках и и построить график гиперболы.

 

 

 

 

А ₁, А ₂– вершины гиперболы, – фокусы гиперболы.