Классификация функций (виды).

Элементарные: Относятся алгебраические, тригонометрические, круговые, показательные, логарифмические.

Неэлементарные функции

Все остальные функции (не элементарные): факториал, иррациональные x, абсолютная величина.

 

Предел функции.

Число b называется пределом функции ¦(x), при x ® a,если по мере того как x приближается a, значение ¦(x) неограниченно приближается к b.

lim ¦(x) = b

^{x ® a}

n

n = 1, 2, 3

Ноль (0) – предел последовательности

 

Непрерывность функции.

Определение 1: функция ¦(x) называется непрерывной в (·) x₀, если предел этой функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

Определение 2: функция y = ¦(x) называется непрерывной, если выполняется условие lim Dy = 0

^{Dx ® 0}

D (дельта) – разность между новым и старым значением или D - приращение

D y = ¦ (x+Dx) - ¦(x) -приращение функции

Dx = (x+Dx) - x приращение аргумента D x

 

Определение 3: предел слева: lim ¦(x)

^{x ® x}₀ ^{– 0}

предел справа: lim ¦(x)

^{x ® x}₀ ^{+ 0}

 

Функция называется непрерывной в (·) x₀, если предел “слева” совпадает с пределом “справа” и равен значению функции в (·) x_0.

 

Функция ¦(x) называется разрывной в ( · ) x₀, если в этой точке не выполнено не одно из трех условий непрерывности (определение 1, 2, 3).

 

Классификация точек разрыва функции.

1. Разрыв 1-го рода (или скачок)

Существуют конечные пределы слева и справа, но они не равны между собой.

 

lim ¦(x) ¹ lim ¦(x) = ¦(x₀)

^{x ® x}₀^{-0 x ® x}₀⁺⁰

y = Sng x =

{

-1

при x > 0 x =0 x<0

 

 

2. Устранимый разрыв: существуют конечные пределы, но они не равны значению ¦(x₀) в точке x₀ (или ¦(x₀) в точке x₀ не существует)

lim ¦(x) = lim ¦(x) ¹ ¦(x₀),

^{x ® x}₀^{-0 x ® x}₀⁺⁰

y =	Sin x	x ¹ 0 функция не существует в (·) x0
x

x

 

3. Разрыв 2-го рода – один или оба предела не существуют или равны ¥.

lim ¦(x) = ¥ или (и) lim ¦(x) = ¥

^{x ® x}₀^{-0 x ® x}₀⁺⁰

предел справа + ¥; пределслева - ¥

 

пример: 1. lim

 

lim = +∞ lim = – ∞

^{х → +∞ х → – ∞}

2. tg х

lim tg x = +∞ lim tg x = – ∞

^{х → +∞ х → – ∞}

 

Замечательные пределы.

Образцы решения типовых заданий.

 

ПРИМЕР 1. Найдите предел

Решение.

Разделим числитель и знаменатель выражения на 7ⁿ. После преобразований получим:

.

(Так как при выражение стремится к нулю по свойству показательной функции с основанием 0<a<1).

 

ПРИМЕР 2. Найдите предел

 

Решение.

Имеем неопределённость вида . Чтобы устранить её, разделим числитель и знаменатель на :

.

Делим на х в большей степени.

 

Правило нахождения предела:

 

ПРИМЕР 3. Найдите предел .

Решение.

 

Имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, умножим и разделим выражение в скобках на сопряженное ему выражение . Получим:

.

ПРИМЕР 4. Найти предел

Решение.

 

Имеем неопределенность вида “0/0”. Подвергнем функцию преобразованию, чтобы получить возможность использовать первый замечательный предел;

 

.

ПРИМЕР 5. Найти предел .

 

Решение.

Имеем неопределённость вида . Чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом, преобразуем данную функцию:

 

^.

Асимптота.

Асимптотой называется прямая, к которой приближается точка графика функции при неограниченном удалении ее от начала координат.

Существует три вида асимптот:

1. вертикальная

2. горизонтальная

3. наклонная

 

Правила нахождения асимптот:

1. Вертикальная асимптота бывает в точках, где функция не существует (х ≠ х₀). Если хотя бы один из пределов функции: слева или справа, не существует, то прямая х = х₀ является вертикальной асимптотой.

2.

, прямая тогда у = b

Пусть функция определена при достаточно больших Х и существует конечный предел

является горизонтальной асимптотой

 

≠ 0

3. Пусть функция определена при достаточно больших Х и существует конечный предел

и

тогда прямая y = kx + b является наклонной асимптотой

Тема 4. Производная.

Производной функции y = ¦(x) в точке x₀ называется предел при D x ® 0 отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует)

y¢ = lim D x ® 0	D y	= lim D x ® 0	¦ (x0 + Dx) -¦(x0)
D x	D x

Производная функции имеет несколько обозначений

 

y¢; ¦ ¢(x);	dy	;	d ¦(x)
dx	dx

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.

Геометрический смысл производной.

Пусть функция y = ¦(x) определена и непрерывна на [a, b]

Пусть (·) M соответствует некоторому значению x₀, а (·) P значению x₀ +D x, где D x - приращение аргумента

Проведем через (·)M и (·)P прямую (секущую).

Ðj (D x) - угол между секущей и осью 0 x.

Касательной S к графику функции ¦(x) в (·)M называется предельное положение секущей MP при неограниченном приближении (·)P по графику к (·)M (или то же самое при D x ® 0)

tg j(Dx)=	NP	=	Dy	=	¦ (x0+Dx) - ¦ (x0)
MN	Dx	Dx

 

Т.к. при Dx ® 0 секущая MP переходит в касательную, то Ðj₀ – угол касательной с осью 0x.

lim tg j(Dx) = tg j₀

^{D x ® 0}

С другой стороны

lim tg j(Dx) = lim D x ® 0 D x ® 0	¦ (x0+ Dx) - ¦(x0)	= ¦¢(x0) Þ ¦¢(x0) = tg j0
Dx

Производная функции ¦¢(x) в (·)x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции ¦(x) в точке M (x₀, ¦(x₀)).

Уравнение касательной y = ¦(x₀) -¦¢(x₀)(x- x₀)

Физический смысл производной: скорость изменения функции в точке.

Функция ¦(x) называется дифференцируемой в (·)x₀, если её приращение Dy в этой точке можно представить в виде: Dy = A * Dx + a(Dx)* Dx

A - некоторое число, не зависящее от Dx,

a(Dx) – функция аргумента Dx, являющаяся бесконечно малой при Dx ® 0,

т.е. lim a(Dx) = 0

^{D x ® 0}

Значение производной функции в точке обозначают .

Дифференциалом dx независимой переменной х называют её приращение .

Дифференциалом называется .

Примечание: производная функции есть некоторая функция , произведенная (т.е. полученная по определенным правилам) из данной функции.

 

Правила дифференцирования

 

Пусть ¦(x) = U y(x) = V

1. C^¢ = 0, где C = const

2. [a ´ ¦(x)]¢ = a ´ ¦¢(x) – (постоянная a выносится за знак дифференциала)

[a ´ U]¢ = a ´ U¢

3. (U + V)¢ = U¢ + V¢ – (производная суммы равна сумме производных)

4. (U ´ V)¢ = U¢V + UV¢

5. (UVW)¢ = U¢VW + UV¢W + UVW¢

6.	(	U	)¢	=	U¢V - UV¢
V	V2

 

7. Производная степенной функции: y=xⁿ y¢ = n ´ x^n-1

8. Производная тригонометрических функций:

а) y = sin x y¢ = cos x

б) y = cos x y¢ = - sin x

в) y = tg x

y¢ =				x ¹	P	+ nP
cos2 x

 

г) y = ctg x

y¢ = -		x ¹ Pn
sin2 x

 

9. Производная логарифмической функции y = log_a x

y¢ =		´ loga e =
x	x ln a

10. Производная показательной функции y = a^x

y¢ = a^x ln a

y = e^x Þ y¢ = e^x

11. Производная сложной функции

Если y = ¦ (g(x)), то y¢(x)¢ = ¦¢(g) ´ g¢(x) или y = ¦(U), где U = g(x) Þ

y¢ = ¦¢(U) ´ U¢

Пример нахождения производной:

y = ln(x³ + 1)

заменим (x³ + 1) новой переменной z, тогда y = ln z

Производная y¢ = (lnz)¢ z¢

(lnz)¢ =

z¢ = (x³ + 1)¢ = = (x³)¢ + (1)¢ = 3x^3-1 + 0 = 3x²

y¢ =

 

Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.

Пусть функции f(x) и дифференцируемы в окрестности точки а, причем производная .

Если обе функции бесконечно малые или бесконечно большие при , т.е. если частное в точке а представляет неопределенность вида или , то , при условии, что предел отношения производных существует (конечный или бесконечный).

Правило применимо и для случая, когда . Раскрытие неопределенностей вида , , , , при помощи алгебраических преобразований и логарифмирования сводится к раскрытию неопределенностей вида и .

Замечание: правило Лопиталя применимо тогда, когда существует предел отношения производных. Если предел отношения функций существует, а предел отношения производных не существует, надо раскрывать неопределенности другим способом.

Производную от у = f(x) будем называть производной первого порядка; производную от первой производной называют второй производной (или производной второго порядка) от функции у = f(x) и обозначают или ; производную от производной второго порядка называют третьей производной и обозначают или и т.д.

Производная от производной (n – 1)-го порядка называется производной n-го порядка от функции у = f(x) и обозначается или .

Если функция у = f(x) дифференцируема в интервале (a,b) и имеет положительную (отрицательную) производную , то функция f(x) возрастает (убывает) в этом интервале.

Замечание: производная в отдельных точках интервала может равняться нулю.