II. Показатели вариации и анализ частотных распределений

Показатели вариации

Задача 6. Рассчитайте показатели вариации по стажу работников двух бригад.

 

1 бригада	2 бригада
№ п/п	Стаж. годы х	Отклонение от среднего стажа	Квадрат отклонения от среднего стажа	Стаж. годы х	Отклонение от среднего стажа	Квадрат отклонения от среднего стажа
		6,2	38,44		1,2	1,44
		5,2	27,04		1,2	1,44
		4,2	17,64		0,2	0,04
		4,2	17,64		0,2	0,04
		3,2	10,24		0,2	0,04
		1,8	3,24		0,2	0,04
		2,8	7,84		0,8	0,64
		4,8	23,04		0,8	0,64
		5,8	33,64		0,8	0,64
		7,8	60,84		0,8	0,64
Сумма			239,6		6,4	5,6

 

Последовательность расчёта:

1. Рассчитываем средний стаж работы работников в каждой бригаде в годах.

В первой бригаде:

Во второй бригаде:

2. Определяем размах вариации.

В первой бригаде: R₁=X_max-X_min= 15-1=14 лет.

Во второй бригаде: R₂=X_max-X_min= 8-6=2 года.

Таким образом, при численном равенстве работников бригад колеблемость стажа отдельных работников во второй бригаде значительно меньше, чем в первой.

3. Вычисляем среднее линейное отклонение.

В первой бригаде:

 

 

Во второй бригаде:

Во второй бригаде стаж работников более однороден, чем в первой бригаде.

4. Дисперсия составит:

 

для первой бригады: года

 

для второй бригады: года

5. Среднеквадратическое отклонение составит:

в первой бригаде:

во второй бригаде:

Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая отражает всю представляемую совокупность. Во второй бригаде дисперсия и среднее квадратическое отклонение значительно меньше, чем в первой бригаде, следовательно, средняя арифметическая второй бригады является обобщающей характеристикой всей совокупности.

 

6. Коэффициент осцилляции в первой бригаде составил:

, то есть разница между крайними значениями на 94% превышает среднее значение стажа работников.

Во второй бригаде этот показатель составляет 27,2% среднего значения:

7. Относительное линейное отклонение характеризует долю усреднённого значения абсолютных отклонений от средней величины, во второй бригаде оно составило 8,8% против 64% в первой бригаде:

 

 

 

8. Коэффициент вариации используется для оценки типичности средних величин и равен:

 

 

в первой бригаде:

во второй бригаде:

Чем меньше значения относительных показателей вариации, тем меньше колеблемость признаков, что подтверждает однородность совокупности. Если K_v =40%, то это говорит о большой колеблемости признака и нетипичности средней величины для всей совокупности. В данной задаче коэффициент вариации подтверждает большую колеблемость стажа работников в первой бригаде и, следовательно, средняя арифметическая не является обобщающей характеристикой всей совокупности.

Задачи для самостоятельного решения:

1. По данным о распределении количества обрабатываемых за неделю ГТД рассчитайте показатель ассиметрии и эксцесса:

Количество обрабатываемых в неделю ГТД, шт.	19-20	20-21	21-22	22-23	23-24	24-25	Итого
Частота

 

2. По следующим данным постройте интервальный ряд распределения.

Возраст студентов двух групп 5 курса, лет:

22 21 23 24 22 21 22 21 23 26 24 21

25 23 22 21 21 22 24 23 21 21 25 24

 

III. Выборочный метод в статистике

Ошибки выборки

- дисперсия признака х в выборочной совокупности;

w – доля единиц, обладающих исследуемым признаком;

n – объём выборочной совокупности;

N – объём генеральной совокупности;

- выборочная средняя;

- генеральная средняя;

t – коэффициент доверия, который определяется в зависимости от того, с какой вероятностью надо гарантировать результаты выборочного наблюдения.

Задача 7. В случае случайного повторного отбора было установлено, что средний вес товара в выборочной совокупности, состоящей из 100 изделий, оказался равным 10 кг, при среднем квадратическом отклонении 0,6 кг. С вероятностью, равной 0,954, определить в каких пределах заключён средний вес товара в генеральной совокупности.

По условию задачи имеем: Ф_(t)=0,954,

следовательно t=2.

 

Последовательность расчёта

1. Определим среднюю и предельную ошибки выборки:

 

 

2. Средний вес изделия в генеральной совокупности колеблется в пределах:

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний вес товара в генеральной совокупности колеблется в пределах от 9,88 до 10,12 кг.

 

Механическая выборка

Задача 8. Из 1000 таможенных работников в порядке механической выборки отобрано 100 работников в целях изучения их среднего стажа работы. Определить: 1) с вероятностью 0,954 средний стаж таможенных работников; 2) с вероятностью 0,997 долю таможенных работников со стажем свыше 20 лет и пределы генеральной совокупности.

 

Стаж, годы, Х	Число таможенных работников, f	Середина интервала, Хi	Xif	Xi2	Xi2f
0-5		2,5		6,25	37,5
5-10		7,5		56,25
10-15		12,5		156,25	2812,5
15-20		17,5		306,25	9187,5
20-25		22,5		506,25
Свыше 25		27,5		756,25	10587,5
	∑f=100		∑=1690		∑=33425

 

Порядок расчёта

1. Рассчитываем среднюю арифметическую выборочной совокупности:

 

 

 

2. Рассчитываем дисперсию выборочной совокупности:

 

 

3. Определим среднюю ошибку механической выборки:

 

 

4. Предельная ошибка механической выборки:

Так как вероятность 0,954 t=2, следовательно,

 

 

5. Вычисляем пределы, в которых находится средняя арифметическая в генеральной совокупности:

 

, 16,9 – 1,2≤ х ≤16,9 + 1,2

15,7≤ х ≤18,1

 

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний стаж работников в генеральной совокупности находятся в пределах от 15,7 до 18,1 года.

6. Доля таможенных работников, стаж которых свыше 20 лет, в выборочной совокупности составит:

w=m/n= 34/100=0,34,

где m – число таможенных работников со стажем свыше 20 лет в выборочной совокупности;

n – число таможенных работников в выборке.

7. Определяем среднюю ошибку механической выборки для доли:

 

 

8. Предельная ошибка доли:

Так как при вероятности 0,997 t=3, следовательно,

9. Определяем пределы, в которых находится доля (число работников со стажем свыше 20 лет) в генеральной совокупности:

, 0,34 – 0,135≤ p≤ 0,34+0,135

0,205≤ p≤0,475

С вероятностью 0,997 можно утверждать, что доля таможенных работников со стажем свыше 20 лет в генеральной совокупности не менее 20,5% и не менее 47,5%.

 

Типическая выборка

Задача 9. Проведён 10%-ный бесповторный типический отбор таможенных работников, пропорциональный размерам численности занятых на таможне с целью оценки потерь рабочего времени по болезни. Определить с вероятностью 0,954 среднее число дней временной нетрудоспособности одного таможенного работника в целом по таможенному управлению, в состав которого входят три таможни.

 

Результат типического отбора

Таможня	Всего таможенных работников, N	Обследовано таможенных работников, n	Число дней временной нетрудоспособности за год
Среднее	Дисперсия
Всего:

 

Алгоритм расчёта

1. Определим среднюю из внутригрупповых дисперсий по формуле:

 

 

2. Средняя ошибка выборки:

3. Для вероятности 0,954 находим t=2. Тогда предельная ошибка выборки составит:

 

 

4. Рассчитаем выборочную среднюю:

 

 

5. Генеральная совокупность составит:

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно сделать вывод, что среднее число дней временной нетрудоспособности одного таможенного работника в целом по таможенному управлению за год составляет не менее 14 дней, но не более 15 дней.

 

Серийная выборка

-межсерийная (межгрупповая) дисперсия, определяемая по формуле:

,

- средняя i -й серии;

- общая средняя по всей выборочной совокупности;

R – общее число серий в генеральной совокупности;

r – число отобранных серий в выборочную совокупность;

- межсерийная дисперсия выборочной доли, определяемая по формуле:

 

,

 

где w_i – доля признака в i -й серии;

- общая доля признака во всей выборочной совокупности.

 

Задача 10. Из 100 ящиков, по 200 пакетов овощной приправы в каждом, поступивших на таможенный склад в течение месяца, в порядке серийной выборки отобрано 10 ящиков, в котором каждый пакет овощной приправы был проверен на вес. На основе серийной выборки определить средний вес пакета приправы в генеральной совокупности при вероятности 0,954.

 

№ ящика	Средний вес приправы в пакете, г
		-1
		-4
		-2
		-1
		-2
Итого:

 

Алгоритм расчёта

1. Рассчитываем выборочную среднюю:

 

 

2. Определяем межсерийную дисперсию:

 

 

3. Средняя ошибка выборки составит:

 

 

4. Определяем предельную ошибку выборки. При Ф_(t) =0,954 t =2

Тогда,

5. Генеральная средняя составит:

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний вес пакета с овощной приправой в генеральной совокупности находится в пределах от 52,52 г до 55,48 г.

 

Задачи для самостоятельного решения:

1. Для определения скорости расчётов с кредиторами предприятий корпорации была проведена случайная выборка 50 платёжных документов, по которым срок перечисления и получения денег составил 20 дней (х =20) со стандартными отклонениями 4 дня ( =4). С вероятностью 0,954 определите предельную ошибку выборочной средней и доверительные пределы средней продолжительности расчётов предприятий данной корпорации.