Принцип Д’Аламбера: При движении системы ее состояние может рассматриваться, как состояние равновесия, если к активным силам, действующим на систему, прибавить фиктивные силы (силы инерции).

{ (ρ*δхδyδz)*(dV_y/dt) = Y(ρ*δхδyδz) - (dp/dy)* δхδyδz;

(ρ*δхδyδz)*(dV_z/dt) = Z(ρ*δхδyδz) - (dp/dz)* δхδyδz;

где X,Y, Z – проекции единичных массовых сил.

Разделив эти уравнения почленно на массу параллелепипеда δm = ρ * δхδ yδz и, перейдя к пределу, устремляя одновременно δх, δy и δz к нулю, стягивая параллелепипед к точке М, получим уравнения движения частицы жидкости.

С истема дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости или уравнения Эйлера.

(5.13)

Левые части этих уравнений представляют собой проекции ускорения на оси. В правой части алгебраическая сумма единичных массовых сил и сил давления.

Уравнения Эйлера в таком виде справедливы для несжимаемой и сжимаемой жидкости. Эти уравнения используют для частного случая, когда из массовых сил действует сила тяжести, и при относительном движении жидкости. При этом в величины Х, У и Z входят компоненты ускорения переносного движения.

Рассматривая установившееся движение жидкости, умножим каждое из уравнений (5.16) на проекции элементарного перемещения по осям и сложим уравнения:

В проекциях на ось X:

В проекциях на ось Y:

В проекциях на ось Z:

Просуммировав эти проекции, получим:

Так как для несжимаемой жидкости ρ = const, предыдущее уравнение можно переписать в виде

d(z + p/(gρ) + (V²/2g)) = 0

Это означает, что приращение суммы трех членов, заключенных в скобки, при перемещении частицы жидкости вдоль линии тока (траектории) равно нулю, следовательно, указанный трехчлен есть величина постоянная вдоль линии тока и вдоль элементарной струйки

z + p/(gρ) + (v²/2g) → const.

Получили уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости, найденное в предыдущем параграфе другим способом.

Если записать это уравнение для двух сечений струйки 1-1 и 2-2, оно примет вид первой формы уравнения Бернулли:

Задачи на идеальную жидкость. Примеры Б.П.Борисова.

1. Истечение из отверстия идеальной жидкости разной плотности. На рис.5.8. три сосуда с идеальной жидкостью. Заполнение сосудов указано. Определить скорости истечения из сосудов, используя уранение Бернуллидля для идеальной жидкости.

Рис.5.8. Пример использования уравнения Бернулли для идеальной жидкости.

Запишем уранение Бернулли для сечений 0-0 и 1-1 и условия для сечений 0-0 и 1-1:

Уравнение записывается в избыточных давлениях, это значит, что на уровне 0-0 и 1-1 равно давление атмосферное, для установившейся скорости, это значит, что уровень 0-0 не изменяется и скорость V₀=0. Скорость истечения равна

Чтобы воспользоваться уравнением Бернулли для рис.5.8в нужно привести жидкости в сосуде к одной плотности. Приводим жидкость плотностью ρ₁ к жидкости плотностью ρ₂, то есть определяем, какой столб жидкости плотностью ρ₂ компенсирует действие столба плотностью ρ₁.

Высота жидкости в сосуде при одинаковой плотности ρ₂ будет равна

Скорость истечения

2.На рис.5.9. идеальная жидкость вытекает из сосуда через сопло с диаметром d₀. Определить на каком удалении от сопла диаметр струи уменьшится в 1,5 раза.

Рис.5.8. Определение диаметра сечения при истечении идеальной жидкости.

При свободно падении скорость и перемещение изменяются по законам

При увеличении скорости по уранению неразрывности расход остает постоянным, поэтому сечение должно уменьшится. Уравнение неразрыности

Скорость истечения из отверстия