Гауссова и средняя кривизны поверхности

Определение. Гауссовой (полной) кривизной поверхности называется число, равное произведению главных кривизн K = k ₁· k ₂

Определение. Средней кривизной поверхности называется число, равное среднему арифметическому главных кривизн: H = .

Пример. В условиях предыдущей задачи найти гауссову и среднюю кривизны.

k ₁ = – , k ₂ = + => K = – ; H =

 

Из уравнения главных кривизн и теоремы Виета получаем:

K = и H =

Пример. Условия те же

E = 5, F = 6; G = 10; L = ; M = 0; N =

EG – F ² = 14; EN + GL – 2 MF = + = , LN – M ² =

K = ; H = –

Определение. Поверхности, у которых средняя кривизна во всех точках равна нулю, называются минимальными

Из всех гладких поверхностей, ограниченных данным замкнутым контуром, минимальная поверхность имеет наименьшую площадь.

Пример. Найти гауссову и среднюю кривизны прямого геликоида (u cos v, u sin v, bv) (b > 0)

(cos v; sin v; 0) (0; 0; 0) (– sin v; cos v; 0)

(– u sin v; u cos v; b) (– u cos v; –u sin v; 0)

E = 1, F = 0; G = u ² + v ²; L = 0; M = – ; N = 0

EG – F ² = u ² + b ²; LN – M ² = –

EN + GL – 2 MF = 0

K = – H = 0

Таким образом, прямой геликоид является минимальной поверхностью и поверхностью отрицательной кривизны.

В формуле для вычисления гауссовой кривизны знаменатель: EG – F ² = | | > 0, следовательно, знак гауссовой кривизны совпадает со знаком числа LN – M ² => гауссова кривизна позволяет определить тип точек на поверхности.

Примеры поверхностей постоянной гауссовой кривизны

– плоскость, цилиндрические, конические (все развертывающиеся) поверхности имеют постоянную нулевую гауссову кривизну;

– сфера K = > 0 – поверхность постоянной положительной кривизны;

– псевдосфера (поверхность, образованная вращением трактрисы вокруг её асимптоты) – поверхность отрицательной кривизны

Трактриса Псевдосфера

x = a sin t x = a sin u cos v

y = 0 y = a sin u sin v

z = a (ln tg + cos t) z = a (ln tg + cos u)

K = –

 

 

Внутренняя геометрия поверхностей

 

Изометричные поверхности

Определение. Две поверхности S и S' называются изометричными, если между точками этих поверхностей можно установить такое биективное соответствие, при котором длины соответствующих кривых на поверхностях S и S' равны.

Обозначение: S S'

Если две поверхности изометричны, то говорят, что каждая из них получена изгибанием другой. Таким образом, изгибание поверхности – это такая деформация, при которой не изменяются длины кривых на поверхности.

Примеры.

1. Изгибание плоскости в двугранный угол или параболический цилиндр

2. Изгибание многогранного выпуклого угла (например, трехгранного) в коническую поверхность, которая имеет такую же развертку и плоский угол, что и данный многогранный угол

 

 

3. Если от сферы отсечь плоскостью сферический сегмент и отразить его зеркально относительно плоскости края, получим поверхность, изометричную сфере.

 

 

Теорема (признак изометричности поверхностей). Две регулярные поверхности S ₁ и S ₂, заданные на одной и той же области Q вектор-функциями (u, v) и (u, v) соответственно, изометричны тогда и только тогда, когда одинаковы коэффициенты первых квадратичных форм этих поверхностей

Доказательство

<=) Очевидно, так как длина дуги кривой зависит только от I.

=>) Пусть S ₁ S ₂ => существует изометрия f: S ₁ ® S ₂ и длины соответствующих дуг равны => I₁ = I₂ <=> dS ₁² = dS ₂²

Пусть g₁ – u ₁-линия, g₂ – u ₂-линия, g₁ ®g₂ =>

E ₁ du ² + 2 F ₁ du dv + G ₁ dv ² = E ₂ du ² + 2 F ₂ du dv + G ₂ dv ²

<=> E ₁ = E ₂, F ₁ = F ₂, G ₁ = G ₂