Моделирование случайных полей

Случайными полями называются случайные функции многих переменных. Будем рассматривать четыре переменых: координаты x, y, z, определяющие положение точки в пространстве, и время t. Случайное поле будем обозначать как . Случайные поля могут быть скалярными (одномерными) или векторными.

В общем случае скалярное поле задается совокупностью своих N-мерных распределений , а векторное поле -- совокупностью своих -мерных распределений Если статистические характеристики поля не изменяются при изменении начала отсчета времени, т.е. они зависят только от разности , то такое поле называется стационарным.

Если перенос начала координат не влияет на статистические характеристики поля, т.е. они зависят от разности , то такое поле называется однородным по пространству. Однородное поле анизотропно, если его статистические характеристики не изменяются при изменении направления вектора , т.е. зависят лишь от длины этого вектора.

Примерами случайных полей являются электромагнитное поле при распространении электромагнитной волны в статистически неоднородной среде, в частности электромагнитное поле сигнала, отраженного от флюктуирующего объекта; объемные диаграммы направленности антенн и диаграммы излучения объектов, на формирование которых оказывают влияние случайные параметры; статистически неровные поверхности, в том числе земная поверхность и поверхность моря при волнениях, и ряд других параметров.

Под задачей моделирования понимается разработка алгоритмов для генерирования на ЭВМ дискретных реализаций поля, т.е. совокупности выборочных значений поля где -- дискретная пространственная координата, -- дискретное время.

Приэтом предполагается, что исходными при моделировании случайного поля являются независимые случайные числа. Совокупность таких чисел будем называть как случайное δ-коррелированное поле, называемое обычно δ-полем. Случайное δ-поле – это элементарное обощение дискретного белого шума на случай многих переменных. Моделирование δ-поля на ЭВМ осуществляется путем генерации выборочных значений числа с помощью датчика нормальных случайных чисел с параметрами (0,1).

При моделировании случайных полей можно использовать рассмотренные выше методы моделирования, если известен N или -мерный закон распределения. Однако этот путь весьма сложен в реализации.

Моделирование однородных скалярных нормальных случайных полей.

Методы, основанные на использовании корреляционных функций, канонического разложения в ряд Фурье, используются при задании поля в конечном пространстве и на конечном интервале времени.

Неограниченные дискретные реализации однородного стационарного случайного поля можно формировать с помощью алгоритмов пространственно-временного скользящего суммирования δ-поля, аналогичных алгоритмам скользящего суммирования для моделирования случайных процессов.

Если --импульсная переходная характеристика ПВФ, формирующего из δ-поля поле с заданной функцией спектральной плотности G(s,ω), то подвергая процесс дискретизации пространственно-временной фильтрации δ-поля, получим где ΔrΔt=ΔxΔyΔzΔt – константа, определяемая выбором шага дискретизации по всем переменным x, y, z, t; -- дискретное δ-поле.

Суммирование в выражении осуществляется по всем значениям p, q, l, m, при которых слагаемые не являются пренебрежимо малыми или равными нулю. Подготовительная работа при данном методе моделирования заключается в нахожлении соответсвующей весовой функции пространственно-временного формирующего фильтра.

Подготовительная работа и процесс суммирования упрощается, если h(x,y,z,t) можно представить в виде произведения . В этом случае корреляционная функция имеет вид .

Если разложение корреляционной функции на множители в строгом смысле не выполнима, его можно сделать с некоторй степенью приближения, в частности, положив R(x,y,z,τ)=R(x,0,0,0)R(0,y,0,0)R(0,0,z,0)R(0,0,0,τ). Такое разложение позволяет свести довольно сложную задачу четырехкратного суммирования в вышеприведенном алгоритме к повторному применению однократного скользящего суммирования.