Понятие определенного интеграла.

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

 

 

Р Г Г М У

 

 

Санкт-Петербург

Одобрено Научно-методическим советом РГГМУ

УДК 51

Веретенников В. Н. Учебно-методическое пособие для выполнения индивидуального задания. Определенный интеграл. – СПб.: Изд. РГГМУ. 2007. – 30 с.

 

Активизация познавательной деятельности студентов, выработка у них способности самостоятельно решать достаточно сложные проблемы может быть достигнута при такой организации учебного процесса, когда каждому студенту выдаются индивидуальные домашние задания (ИДЗ) с обязательным последующим контролем их выполнения и выставлением оценок.

Предлагаемое пособие адресовано преподавателям и студентам и предназначено для проведения практических занятий и самостоятельных (контрольных) работ в аудитории и выдачи ИДЗ.

 

© Веретенников В. Н.

© Российский государственный гидрометеорологический университет (РГГМУ), 2007.

 

ПРЕДИСЛОВИЕ

 

"Математика" является не только мощным средством решения прикладных гидрометеорологических задач, но также и элементом общей культуры. Именно в рамках математического образования студент получает навыки творческого подхода к решению интеллектуальных проблем, точному пониманию средств возможностей решения проблем, знакомится с современными информационными технологиями.

Целью математического образования является:

1. Воспитание достаточно высокой математической культуры.

2. Привитие навыков современных видов математического мышления.

3. Привитие навыков использования математических методов и основ математического моделирования в практической деятельности.

Воспитание у студентов математической культуры включает в себя ясное понимание необходимости математической составляющей в общей подготовке студента. Он должен выработать представление о роли и месте математики в современной цивилизации и в мировой культуре, уметь логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и быть корректным в употреблении математических понятий и символов для выражения количественных и качественных отношений.

В пособии приведены основные теоретические сведения, отражающие базисные понятия по разделу "Определенный интеграл"; базисные методы решения основных задач; приведен перечень знаний, умений и навыков, которыми должен владеть студент; указана используемая литература.

 

 

ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Аддитивность определенного интеграла

4. Если функция интегрируема на наибольшем из отрезков , то она интегрируема на двух других отрезках, причем

при любом расположении точек .

Интегрирование четных и нечетных функций в пределах симметричных

Приложение определенных интегралов к задачам геометрии

Определенный интеграл, вследствие абстрактности его понятия, широко применяется для вычисления различных геометрических и физических величин.

Величины, которые можно найти с помощью определенного интеграла, должны обладать свойством аддитивности.

Величина называется аддитивной относительно , если

вытекает .

Аддитивными величинами являются площадь, объем, длина дуги, площадь поверхности вращения, работа, давление и др.

Существуют две схемы применения определенного интеграла для определения различных величин. Одна из них, повторяющая алгоритм получения определенного интеграла по заданной функции, наиболее приемлема в теории. Другая схема носит название дифференциального метода и наиболее приемлема в практике.

Для определения какой-либо величины по дифференциальному методу нужно:

1. Найти дифференциал этой величины из условий задачи, как главную часть приращения функции

2. Определить пределы интегрирования, если они не заданы, .

3. Вычислить интеграл .

 

O a dx b x

 

 

Область правильная относительно оси .

Если область , правильная относительно оси , проектируется на ось в отрезок , то ее граница разбивается на две линии: нижнюю границу области, задаваемую уравнением и верхнюю, задаваемую уравнением .

Тогда область определяется системой неравенств

а площадь вычисляется по формуле

.

y

 

d

 

dy

c

 

O x

Область правильная относительно оси .

Если область , правильная относительно оси , проектируется на ось в отрезок , то ее граница разбивается на две линии: левую границу области, задаваемую уравнением и правую, задаваемую уравнением . В этом случае область определяется системой неравенств

а площадь вычисляется по формуле

.

Задача 7.1.1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

▲ – парабола; – прямые линии.

Найдем точки пересечения данных линий:

Построение очевидно.

y

B

 

 

A

O dx C x

Найдем .

Область , правильная относительно оси , определяется системой неравенств

. ▼

Замечание. Единицы измерения площадей всюду опускаются (для простоты).

Задача 7.1.2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

▲ – парабола, которая строится по трем точкам: вершина определяется из условия .

.

Точки пересечения с осью : .

– прямая, которая строится по двум точкам, в качестве которых возьмем точки пересечения данных линий:

.

y

C 10

 

 

4

 

 

 

 

 

–2 O dx 2 B x

 

 

A D

1) Имеем: .

2) Область , правильная относительно оси , определяется системой неравенств

3) . ▼

Задача 7.1.3. Найти площадь фигуры, ограниченную параболой и осью .

▲ – парабола, которая строится по трем точкам: вершина определяется из условия .

Точки пересечения с осью :

.

y

C

 

A

dy

 

B

O x

1) Найдем .

2) Область , правильная относительно оси , определяется системой неравенств

3) . ▼

Задача 7.1.4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

▲ – парабола, которая строится по трем точкам: вершина определяется из условия .

.

Точки пересечения с осью :

.

– прямая, которая строится по двум точкам, в качестве которых возьмем точки пересечения данных линий:

.

 

 

y

C

A

O B 4 x

dy

 

 

–3 D

1) Имеем .

2) Область , правильная относительно оси , определяется системой неравенств

3) . ▼

Вычисление площадей при параметрическом задании линий, ограничивающих фигуру. В задачах такого типа последовательность действий сохраняется, чаще всего усложняется отыскание пределов.

Пусть граница плоской области фигуры – простая замкнутая кривая, заданная параметрически уравнениями , причем точка при изменении границу области так, что фигура остается слева от движущейся точки. Тогда площадь фигуры может быть вычислена по любой из следующих формул:

,

,

.

Задача 7.1.5. Найти площадь эллипса: .

▲ Чертеж очевиден.

y

 

b

 

O dx a x

 

 

1) Имеем .

2) С учетом свойств симметрии фигуры при определении пределы находим по изменению

 

 

3)

. ▼

Вычисление площадей в полярной системе координат. Вычисление площадей в полярной системе координат производится по дифференциальному методу без каких-либо изменений в его операциях и их последовательности.

Дифференциалом площади в полярной системе координат является площадь кругового сектора с бесконечно малым центральным углом и переменным радиусом :

.

Форма записи дифференциала площади зависит от способа задания фигуры в полярной системе координат.

I. II.

 

 

dφ dφ

β β

α α

O p O p

Задача 7.1.6. Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли .

▲ Напоминаем, что в полярной системе координат чертеж строится по точкам.

Сначала выясняется, где расположена линия по признаку :

.

Затем по периодичности косинуса находим количество петель. Здесь их 2.

Находится по условию .

Построение графика очевидно.

 

 

O 2 p

 

 

 

 

Далее все операции совпадают с действиями, рассмотренными раньше.

1) .

2) Пределы по условию существования функции .

Или с учетом свойств симметрии фигуры при определении пределы находим: .

3)

Замечание. Кривые вида называются розами. Розы имеют лепестков (петель), если , и петель, если .

Например, – трехлепестковая роза, – четырехлепестковая роза.

При вычислении площадей, ограниченных розами, достаточно найти площадь одного лепестка и затем ее умножить на число лепестков.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ

1. Длина кривой.

Рассмотрим на плоскости кривую , заданную параметрически:

,

где – непрерывные функции на отрезке , причем различным значениям соответствуют различные точки (т. е. нет кратных точек). Такую кривую назовем простой (плоской) незамкнутой кривой.

Если точки совпадают, а остальные точки не являются кратными, то кривая называется простой замкнутой кривой.

Длина дуги – аддитивная величина, следовательно, ее можно найти с помощью определенного интеграла.

Воспользуемся дифференциальным методом.

1. Найти дифференциал дуги в зависимости от способа задания кривой.

2. Определить пределы интегрирования.

3. Вычислить интеграл от дифференциала дуги.

2. Длина кривой в декартовых координатах. Если кривая задана уравнением

,

причем функция имеет на отрезке непрерывную производную, то дифференциал дуги вычисляется по формуле

,

а длина кривой по формуле

.

Если кривая задана уравнением

,

причем функция имеет на отрезке непрерывную производную, то дифференциал дуги вычисляется по формуле

,

а длина кривой по формуле

.

3. Длина кривой, заданной параметрически. Пусть кривая задана параметрическими уравнениями , причем функции имеют на отрезке непрерывные производные. Тогда дифференциал дуги выражается формулой

а длина кривой

.

4. Длина кривой в полярных координатах. Если кривая задана уравнением , , причем функция имеет на отрезке непрерывную производную, дифференциал дуги выражается формулой

,

а длина кривой

.

Замечание. Задачи на вычисление длин дуг можно решать без чертежа.

Задача 7.3.1. Найти длину дуги кривой .

▲ 1.

.

2. Пределы заданы в условии задачи .

3.

. ▼

Задача 7.3.2. Вычислить длину дуги одной арки циклоиды .

▲ Кривая задана параметрически.

1.

.

2. Пределы для переменной определяются по пределам из уравнения

3. . ▼

Задача 7.3.3. Вычислить длину логарифмической спирали .

▲ Кривая задана в полярной системе координат.

1. .

2. Пределы заданы по условию задачи: .

3. .

Решение задачи III типового варианта

Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) площадь фигуры, ограниченной указанными линиями .

▲ Найдем точки пересечения данных кривых:

.

Сделаем чертеж.

y

 

 

1 B

A

O 1 dx e x

 

1. Имеем: .

2. Пусть область правильная относительно оси :

3.

. ▼

Решение задачи IV типового варианта

Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс плоской фигуры, ограниченной параболами .

▲ – парабола, строится по трем точкам:

Вершина определяется из условия .

.

Точки пересечения с осью .

.

– парабола. Вершина определяется из условия .

.

Точек пересечения с осью нет .

Находим точки пересечения данных парабол:

.

y

 

A

C D

B

dx x

 

 

1. Дифференциал объема:

.

2. Пределы определяем из решения системы (пересечения парабол): .

3. . ▼

Знания и умения, которыми должен владеть студент

Умения в решении задач

Студент должен уметь:

1. Вычислять простые определенные интегралы, используя формулу Ньютона-Лейбница, замену переменной, формулу интегрирования по частям.

2. Вычислять по определению или устанавливать сходимость (расходимость) несобственных интегралов.

3. Строить и использовать формулы для нахождения площадей, длин дуг плоских кривых.

 

 

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Козлов В. Н., Максимов Ю. Д., Хватов Ю. А. Структурированная программа (базис). Типовые задачи для контроля, требования к знаниям и умениям студентов. Учебное пособие. – СПб.: СПБГТУ, 2001. – 56 с.

2. Краснов М. Л. и др. Вся высшая математика: Учебник. Т. 1, 2. – М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 328 с.

3. Зорич В. А. Математический анализ, часть 1. – М.: Наука, 1981. – 544 с.

4. Веретенников В. Н. Математический анализ: Учебное пособие (рукопись). – СПб.: РГГМУ, 2006.

5. Рябушко А. П. и др. Сб. индивидуальных заданий по высшей математике: Учебное пособие. Ч. 1. – Мн.: Выш. шк., 1990. – 270 с.

6. Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А. Задачи и упражнения по математическому анализу. В 2 кн. – М.: Высш. шк., 2000.

7. Кузнецов Л. А. Сборник задач по высшей математике (типовые расчеты). – М.: Высш. шк., 1986.

 

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

1. Предисловие …………………………………………………………………………… 3

2. Понятие определенного интеграла. Вычисление определенного интеграла. ……… 4

Решение задач I типового варианта ………………………………………………… 9

3. Вычисление несобственных интегралов……………………………………………… 11

Решение задач II типового варианта ……………………………………………… 14

4. Приложение определенных интегралов к задачам геометрии……………………… 14

Решение задачи III типового варианта ……………………………………………… 25

Решение задачи IV типового варианта ……………………………………………… 26

5. Знания и умения, которыми должен владеть студент ……………………………… 27

6. Использованная литература …………………………………………………………… 28

 

Учебное издание

 

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

 

 

Автор: Веретенников Валентин Николаевич.

 

Редактор И. Г. Максимова.

 

ЛЗ № 020309 от 30.12.96

 

 

Подписано в печать ……… Формат Бумага кн.-жур. Печать офсетная.

 

Печ. л. ……… Уч.-изд. л. ……… Тираж ……… Зак. ………

 

195196, СПб, Малоохтинский пр. 98. РГГМУ.

Отпечатано …………

 

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

 

 

Р Г Г М У

 

 

Санкт-Петербург

Одобрено Научно-методическим советом РГГМУ

УДК 51

Веретенников В. Н. Учебно-методическое пособие для выполнения индивидуального задания. Определенный интеграл. – СПб.: Изд. РГГМУ. 2007. – 30 с.

 

Активизация познавательной деятельности студентов, выработка у них способности самостоятельно решать достаточно сложные проблемы может быть достигнута при такой организации учебного процесса, когда каждому студенту выдаются индивидуальные домашние задания (ИДЗ) с обязательным последующим контролем их выполнения и выставлением оценок.

Предлагаемое пособие адресовано преподавателям и студентам и предназначено для проведения практических занятий и самос