Метод припасовывания (сшивания)

 

Метод применим при возможности кусочно-линейного представления характеристики нелинейной системы. Он состоит в следующем. Нелинейная характеристика нелинейного звена представляется кусочно-линейной характеристикой.

1. Для каждого линейного участка строим фазовый портрет линейной системы.

2. На фазовой плоскости находим линии переключения с одного линейного участка на другой.

3. Сшиваем фазовый портрет по линиям переключения.

 

Примеры.

 

 

;

или .

Пусть НЭ имеет характеристику идеального реле.

 

; если

 

; если .

;

;

.

 

Для	Для
;	;
;	;
;	;
;	;
— парабола	— парабола

 

 

После сшивания.

 

На линии фазовые характеристики сшиваются.

Данный фазовый портрет соответствует колебательному характеру изменения выходной величины.

Теперь заменим идеальное реле звеном: реле с зоной нечувствительности. Тогда получим следующую систему уравнений:

 

	, при ; ; .
	, при ; ; .
	, при ; ; .

 

При любых начальных условиях получим незатухающие колебания.

Произведем стабилизацию нелинейной системы.

 

 

 

Переключение при

;

 

— уравнение линии переключения.

 

Если нелинейрый элемент имеет характеристику то переключение при:

;

т.е. ;

 

и ;

т.е. .

 

 

Метод гармонической линеаризации (гармонического баланса)

 

Это приближенный метод исследования устойчивости и автоколебаний нелинейных систем. Он дает возможность найти частоту и амплитуду автоколебаний.

Идея метода гармонической линеаризации была предложена в 1934 г. Н.М. Крыловым и Н.Н. Боголюбовым для приближенного определения периодических решений. Применительно к системам автоматического регулирования этот метод развит Л.С. Гольдфарбом и Е.П. Поповым.

Метод применим к системам, содержащим:

 

 

Идея метода состоит в замене нелинейной системы такой линейной системой (или близкой к ней), которая в периодических режимах ведет себя как линейная.

Такой подход возможен при выполнении следующих условий.

1). Можно выделить нелинейный и устойчивый линейный элементы.

2). Нелинейный элемент не является частотно преобразующим. Это означает, что если на вход нелинейного элемента поступает гармонический сигнал с частотой , то и на выходе первая гармоническая составляющая должна быть той же частоты.

3). Справедлива гипотеза фильтра.

Будем подавать на вход нелинейного элемента гармонический сигнал:

. (1)

Предположим, что в нелинейной системе возникают автоколебания.

Покажем, что при некотором условии они близки к гармоническим колебаниям.

При подаче на вход нелинейного элемента сигнала (1) на выходе может быть целый спектр гармоник. Разложив выходной сигнал нелинейного элемента в ряд Фурье, получим:

. (2)

Если нелинейная характеристика симметрична относительно начала координат, то .

 

 

Теперь сигнал (2) пропустим через линейную часть (ЛЭ).

Пусть его АФХ:

 

 

Его составляющие изменяются в зависимости от величины модуля АФХ линейной части для соответствующих частот.

Амплитуду входной составляющей с умножаем на модуль для частоты .

 

 

Предположим, что линейная часть является фильтром, совершенно не пропускающим частоты .

 

 

Пусть нелинейная часть порождает гармоники с частотой и следующие за первой гармоникой, начиная с частоты . Тогда независимо от характера нелинейности нелинейного элемента колебания на выходе из линейного звена строго гармонические, если выполняется условие: . (3)

 

Предположение (3) называется гипотезой фильтра. Оно означает, что линейная часть системы пропускает только первую гармонику выражения (2) с частотой . Т.о., на вход нелинейного элемента снова поступает гармонический сигнал с той же частотой, и вся система ведет себя как линейный объект (циркулирует гармоника одной частоты).

Вместо гипотезы фильтра может быть использована гипотеза резонанса.

 

 

Линейная часть пропускает — гармонику с резонансной частотой . Однако, для промышленных объектов в подавляющем большинстве справедлива гипотеза фильтра.

 

 

Пусть . (1)

Нелинейное звено имеет характеристику:

. (2)

Разложим выходной сигнал нелинейного элемента в ряд Фурье:

(3)

где

; (4)

(5)

(6)

Пусть линейная часть пропускает только основную, 1-ую гармонику, постоянной составляющей нет, т.е. , тогда можно ограничиться:

; (7) при К=1.

. (8) при К=1.

Продифференцируем (1)

(9)

Выразим из (1), а из (9)

; (10)

. (11)

Теперь (3) запишем в виде:

. (12)

Преобразуя (12) по Лапласу, получим: (13)

откуда

. (14)

Обозначая

запишем в виде

(15)

Заменяя , получим выражение комплексного коэффициента усиления нелинейного элемента:

; (16)

,

где , а .

Коэффициенты и называются коэффициентами гармонической линеаризации.

Определим коэффициенты и для нелинейности типа:

 

 

 

 

— гармонически линеаризованный сигнал.