Тема 2.3.Аналитическая геометрия

Задание 1. Найти проекцию точки Р(2, –5,7) на прямую, проходящую через точки М1(4, 5, 6) и М2(–2, –17, –8).

Тема 3.1.Предел и непрерывность функции

Задание 1. Вычислить пределы.

а) ; б) ;

в) ; г) .

Тема 3.2. Производная функции и ее свойства

Задание 1. Найти производные функций:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

Задание 2. Найти , если

Задание 3. Провести полное исследование функций

и построить графики функций:

а) ; б) .

6.2. Задания и методические указания по организации самостоятельной работы студента

Расчетно-графические работы

Вариантыр асчетно-графической работы

Вариант №1

1. Вычислить определитель: .

2. Найти АВ–ВА, где: ; .

3. Найти А^-1, где: , сделать проверку, и решить систему АХ= матричным способом.

4. Решить систему а) методом Крамера; б) методом Гаусса:

Сделать проверку.

5. Три стороны треугольника АВС заданы уравнениями:

(АВ): х -3 у -23=0; (ВС): 7 х +9 у +19=0; (АС): 4 х +3 у +13=0. Составить уравнение высоты, проведенной из вершины В и уравнение медианы, проведенной из вершины А.

6. Даны координаты вершин пирамиды .

Найти: 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) угол между ребром и гранью ; 4) площадь грани ; 5) объем пирамиды. Сделать чертеж.

.

7. Найти точку В, симметричную точке А (1, 3, –4) относительно плоскости 3 х + у –2 z =0.

Вариант №2

1. Вычислить определитель: .

2. Найти АВ–ВА, где: ; .

3. Найти А^-1, где: , сделать проверку, и решить систему АХ= матричным способом.

4. Решить систему а) методом Крамера; б) методом Гаусса:

Сделать проверку.

5. Даны уравнения одной из сторон ромба и одной из его диагоналей ; диагонали ромба пересекаются в точке .

Найти уравнения остальных сторон ромба.

6. Даны координаты вершин пирамиды .

Найти: 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) угол между ребром и гранью ; 4) площадь грани ; 5) объем пирамиды. Сделать чертеж.

.

7. Найти точку М, симметричную точке N (1, 3, 5) относительно плоскости 2 х – у –3 z +5=0.

 

Вариант №3

1. Вычислить определитель: .

2. Найти АВ–ВА, где: ; .

3. Найти А^-1, где: , сделать проверку, и решить систему АХ= матричным способом.

4. Решить систему а) методом Крамера; б) методом Гаусса:

Сделать проверку.

5. Даны две вершины и и точка пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.

6. Даны координаты вершин пирамиды .

Найти: 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) угол между ребром и гранью ; 4) площадь грани ; 5) объем пирамиды. Сделать чертеж.

7. Найти проекцию точки Р (2, –5,7) на прямую, проходящую через точки М₁ (4, 5, 6) и М₂ (–2, –17, –8).

 

Вариант №4

1. Вычислить определитель: .

2. Найти АВ–ВА, где: ; .

3. Найти А^-1, где: , сделать проверку, и решить систему АХ= матричным способом.

4. Решить систему а) методом Крамера; б) методом Гаусса:

Сделать проверку.

5. Уравнения двух сторон параллелограмма и , а уравнение одной из его диагоналей .Найти координаты вершин параллелограмма.

6. Даны координаты вершин пирамиды .

Найти: 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) угол между ребром и гранью ; 4) площадь грани ; 5) объем пирамиды. Сделать чертеж.

7. Найти точку Q, симметричную точке Р (4, 1, 6) относительно прямой

Вариант №5

1. Вычислить определитель: .

2. Найти АВ–ВА, где: ; .

3. Найти А^-1, где: , сделать проверку, и решить систему АХ= матричным способом.

4. Решить систему а) методом Крамера; б) методом Гаусса:

Сделать проверку.

5. Три стороны треугольника заданы уравнениями и . Написать уравнение высоты и биссектрисы, проведенных из вершины .

6. Даны координаты вершин пирамиды .

Найти: 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) угол между ребром и гранью ; 4) площадь грани ; 5) объем пирамиды. Сделать чертеж.

6. Найти точку Q, симметричную точке Р (2, –5, 7) относительно прямой

Вариант №6

1. Вычислить определитель: .

2. Найти АВ–ВА, где: ; .

3. Найти А^-1, где: , сделать проверку, и решить систему АХ= матричным способом.

4. Решить систему а) методом Крамера; б) методом Гаусса:

Сделать проверку.

5. Даны вершины трапеции . Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершины этой трапеции.

6. Даны координаты вершин пирамиды .

Найти: 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) угол между ребром и гранью ; 4) площадь грани ; 5) объем пирамиды. Сделать чертеж.

7. Найти проекцию точки А (2, 0, 3) на прямую .

Вариант №7

1. Вычислить определитель: .

2. Найти АВ–ВА, где: ; .

3. Найти А^-1, где: , сделать проверку, и решить систему АХ= матричным способом.

4. Решить систему а) методом Крамера; б) методом Гаусса:

Сделать проверку.

5. Даны уравнения двух сторон треугольника и . Его медианы пересекаются в точке .Составить уравнение третьей стороны треугольника.

6. Даны координаты вершин пирамиды .

Найти: 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) угол между ребром и гранью ; 4) площадь грани ; 5) объем пирамиды. Сделать чертеж.

7. Найти проекцию точки А (1, –1, 2) на плоскость х + у +2 z –3=0.

 

Вариант №8

1. Вычислить определитель: .

2. Найти АВ–ВА, где: ; .

3. Найти А^-1, где: , сделать проверку, и решить систему АХ= матричным способом.

4. Решить систему а) методом Крамера; б) методом Гаусса:

Сделать проверку.

5. Даны две вершины и и точка пересечения медиан треугольника . Составить уравнение высоты треугольника, проведенной через третью вершину С.

6. Даны координаты вершин пирамиды .

Найти: 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) угол между ребром и гранью ; 4) площадь грани ; 5) объем пирамиды. Сделать чертеж.

7. Найти проекцию точки М(0, –3, –2) на прямую

Вариант №9

1. Вычислить определитель: .

2. Найти АВ–ВА, где: ; .

3. Найти А^-1, где: , сделать проверку, и решить систему АХ= матричным способом.

4. Решить систему а) методом Крамера; б) методом Гаусса:

Сделать проверку.

5. Уравнения двух высот треугольника и , и одна из его вершин А(0;2). Составить уравнение сторон треугольника.

6. Даны координаты вершин пирамиды .

Найти: 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) угол между ребром и гранью ; 4) площадь грани ; 5) объем пирамиды. Сделать чертеж.

7. Найти проекцию точки М (3, 3, 3) на прямую .

 

Вариант №10

1. Вычислить определитель: .

2. Найти АВ–ВА, где: ; .

3. Найти А^-1, где: , сделать проверку, и решить систему АХ= матричным способом.

4. Решить систему а) методом Крамера; б) методом Гаусса:

Сделать проверку.

5. Даны уравнения двух медиан треугольника и и одна из его вершин (1;3). Составить уравнения его сторон.

6. Даны координаты вершин пирамиды .

Найти: 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) угол между ребром и гранью ; 4) площадь грани ; 5) объем пирамиды. Сделать чертеж.

7. Найти точку К, симметричную точке М (1, 0, –1) относительно плоскости 2 у +4 z –1=0.

 

 

 

Варианты контрольной работы для студентов заочной формы обучения

Задача 1.

1.1. Г раф, имеет матрицу инциденций . Построить граф. Найти для него матрицу смежности.

1.2. Г раф, имеет матрицу смежности . Построить граф. Найти для него матрицу инциденций..

1.3. Г раф, имеет матрицу инциденций . Построить граф. Найти для него матрицу смежности.

1.4. Г раф, имеет матрицу смежности . Построить граф. Найти для него матрицу инциденций.

1.5. Г раф, имеет матрицу инциденций . Построить граф. Найти для него матрицу смежности.

1.6. Г раф, имеет матрицу смежности . Построить граф. Найти для него матрицу инциденций.

1.7. Г раф, имеет матрицу инциденций . Построить граф. Найти для него матрицу смежности.

1.8. Г раф, имеет матрицу смежности . Построить граф. Найти для него матрицу инциденций.

1.9. Г раф, имеет матрицу инциденций . Построить граф. Найти для него матрицу смежности.

1.10. Г раф, имеет матрицу смежности . Построить граф. Найти для него матрицу инциденций.

Задача 2.

В пирамиде SABC: треугольник АВС – основание пирамиды, точка S – ее вершина. Даны координаты точек A, B, C, S.

 

2.1. А(-2;0;0); В(0;3;0); C(0;0;1); S(0;2;3).

2.2. А(4;0;0); В(0;-8;0); C(0;0;2); S(4;6;3).

2.3. А(-2;0;0); В(0;6;0); C(0;0;2); S(-1;6;4).

2.4. А(1;0;0); В(0;2;0); C(0;0;2); S(1;1;4).

2.5. А(-3;0;0); В(0;-2;0); C(0;0;1); S(-2;-1;3).

2.6. А(6;0;0); В(0;-3;0); C(0;0;2); S(4;-3;4).

2.7. А(3;0;0); В(0;-6;0); C(0;0;1); S(1;-3;3).

2.8. А(-4;0;0); В(0;4;0); C(0;0;2); S(-2;4;3).

2.9. А(-6;0;0); В(0;2;0); C(0;0;3); S(-3;2;5).

2.10. А(-1;0;0); В(0;5;0); C(0;0;2); S(-1;3;4).

 

 

Сделать чертеж. Найти:

1) длину ребра АВ;

2) угол между ребрами АВ и AS;

3) угол наклона ребра AS к основанию пирамиды;

4) площадь основания пирамиды;

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой АВ;

7) уравнение плоскости АВС;

8) проекцию вершины S на плоскость АВС;

9) длинувысоты пирамиды.

 

 

Задача 3.

Дана система линейных уравнений:

Доказать ее совместность и решить тремя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления; 3) по правилу Крамера.

 

3.1. 3.2.

3.3. 3.4.

3.5. 3.6.

3.7. 3.8.

3.9. 3.10.

 

Задача 4.

Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

4.1. а) ; б) ;

в) ; г) .

4.2. а) ; б) ;

в) ; г) .

4.3. а) ; б) ;

в) ; г) .

4.4. а) ; б) ;

в) ; г) .

4.5. а) ; б) ;

в) ; г) .

4.6. а) ; б) ;

в) ; г) .

4.7. а) ; б) ;

в) ; г) .

4.8. а) ; б) ;

в) ; г) .

4.9. а) ; б) ;

в) ; г) .

4.10. а) ; б) ;

в) ; г) .

 

 

Задача 5.

Найти производные данных функций

5.1. а) ; б) ;

в) ; г) .

5.2. а) ; б) ; в) ;

г) .

5.3. а) ; б) ; в) ;

г) .

 

5.4. а) ; б) ;

в) ; г) .

5.5. а) ; б) ; в) ;

г) .

5.6. а) ; б) ;

в) ; г) .

5.7. а) ; б) ;

в) ; г) .

5.8. а) ; б) ;

в) ; г) .

5.9. а) ; б) ; в) ;

г) .

5.10. а) ; б) ;

в) ; г) .

 

Задача 6.

а) Найти , если

6.а.1 ; 6.а.2 ; 6.а.2

6.а.1 ; 6.а.2 ; 6.а.2

6.а.1 ; 6.а.2 ; 6.а.2

6.а.10 ;

 

б) Найти , если

б.1. ; б.2. ;

б.3. ;б.4. д) ;

б.5. ;б.6. ;

б.7. ;б.8. ;

б.9. ; б.10. .

Задача 7.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.

 

7.1. . 7.2. .

7.3. . 7.4. .

7.5. . 7.6. .

7.7. . 7.8. .

7.9. . 7.10. .

6.3. Вопросы для подготовки к зачету

 

 

1. Понятие высказывания.Операции над высказываниями и их свойства.

2. Понятие множества. Операции над множествами и их свойства.

3. Бинарные отношения. Свойства бинарных отношений.

4. Отношение эквивалентности. Его свойства..

5. Отношение порядка, Линейная упорядоченность.

6. Векторы в трехмерном пространстве, линейные операции над ними(сложение векторов и умножение вектора на число).

7. Основные свойства линейных операций над векторами.

8. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Базис и координаты вектора. Понятие об арифметических векторах.

9. Скалярное произведение векторов, его свойства, выражение в координатах. Выражение модуля вектора и угла между векторами через скалярное произведение векторов.

10. Ориентация тройки векторов. Векторное произведение векторов, его свойства и геометрический смысл. Условие коллинеарности векторов.

11. Смешанное произведение векторов, его свойства и геометрический смысл. Условие компланарности векторов.

12. Вычисление определителей квадратных матриц порядков n =1,2,3. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения.

13. Выражение векторного произведения двух векторов и смешанного произведения трех векторов в координатах.

14. Матрицы, линейные операции над ними. Операция умножения матриц.

15. Матрица, обратная данной.

16. Системы линейных алгебраических уравнений. Критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений (теорема Кронекера-Капелли).

17. Различные методы решения систем n линейных уравнений с n неизвестными: матричный, Крамера, Гаусса.

18. Решение произвольной системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Базисные и свободные переменные.

19. Понятие линейного (векторного) пространства. Примеры.

20. Уравнения линий на плоскости. Различные формы уравнения прямой на плоскости.

21. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.

22. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их геометрические свойства, уравнения и формы.

23. Понятие функции одной переменной. Способы задания функций. Область определения и область значений функции, ее график. Свойства функции: симметрия, ограниченность, монотонность.

24. Убывающие и возрастающие функции. Сложная и обратная функции.

25. Основные элементарные функции, их свойства и графики.

26. Предел функции в точке. Основные теоремы о пределах функций.

27. Непрерывность функции на промежутке. Основные теоремы о свойствах непрерывных функций.

28. Классификация точек разрыва функций.

29. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, свойства бесконечно малых функций.Сравнение бесконечно малых функций.

30. Виды неопределенностей и способы их раскрытия. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел.

31. Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Дифференцируемость функции в точке. Дифференциал функции.

32. Основные свойства производных (правила дифференцирования). Производная сложной и обратной функций. Таблица производных для основных элементарных функций.

33. Производные и дифференциалы высших порядков.

34. Теорема Лагранжа о конечных приращениях.

35. Правило Лопиталя.

36. Формула Тейлора с остаточным членом форме Лагранжа.

37. Условия монотонности функции. Экстремумы функции, необходимое условие. Достаточные условия.

38. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функциидифференцируемой на отрезке.

39. Исследование выпуклости функций. Точки перегиба.

40. Асимптоты функций.

41. Общая схема исследования свойств функции и построения ее графика.

7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Литература

Основная литература

1. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты [Электронный ресурс]: учеб.пособие для вузов [Гриф Минобразования РФ] / Л. А. Кузнецов. - 11-е изд., стер. - Санкт-Петербург: Лань, 2015. - 240 с. - Режим доступа: http://e.lanbook.com/view/book/219/.

2. Назаров А. И. Курс математики для нематематических специальностей и направлений бакалавриата [Электронный ресурс]: учеб.пособие для вузов [Гриф УМО] / А. И. Назаров, И. А. Назаров. - СПБ.: Лань, 2011. - 576 с.: ил. - Режим доступа: http://e.lanbook.com/view/book/1797/.

3. Перминов Е. А. Дискретная математика: авторское учебное пособие. Екате­рин­бург: [Электронный ресурс], 2015. 156 с. Режим доступа: http://umkd.rsvpu.ru/download/10059?type=pdf

 

4. Шипачев В. С. Высшая математика. Базовый курс: учебник и практикум для бакалавров [Гриф Минобразования РФ] / В. С. Шипачев; под ред. А. Н. Тихонова. - 8-е изд., перераб. и доп. - Москва:Юрайт, 2015. - 447 с.

5. Шипачев В. С. Высшая математика: учебник и практикум для бакалавров [Гриф Минобрнауки РФ] / В. С. Шипачев; под ред. А. Н. Тихонова; Моск. гос. ун-т им. М. В. Ломоносова. - 8-е изд., перераб. и доп. - Москва: Юрайт, 2015. - 447 с.

 

Дополнительная литература

6. Высшая математика в упражнениях и задачах [Текст]: учебное пособие для вузов. В 2 ч. Ч. 1 / П. Е. Данко [и др.]. – М.: Оникс: Мир и Образование, 2008. – 368 с.

7. Высшая математика в упражнениях и задачах[Текст]: учебное пособие для вузов. В 2 ч. Ч. 2 / П. Е. Данко [и др.]. – М.: Оникс: Мир и Образование, 2009. - 448 с.

8. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике [Текст]: полный курс: [учебное пособие для вузов] / Письменный Д. Т. –М.: Айрис-пресс, 2011. – 602 с.