I. Аксиоматическое построение множества действительных чисел

Множество натуральных и целых чисел.

Множество рациональных чисел.

Аксиоматическое построение множества действительных чисел.

4. Расширенная числовая прямая. Окрестности конечных точек и .

Комплексные числа.

Одним из основных объектов математики является ч исло. Среди бесконечных числовых множеств выделяют:

N - множество натуральных чисел, предназначенных для счета предметов. Во множестве натуральных чисел выполнимы операции сложения, умножения, возведения в степень, тогда как операции вычитания, деления и извлечения корня некоторой степени не всегда выполнимы. Существует несколько теорий натуральных чисел, например, N - множество, содержащее самое маленькое число 1, и, за любым числом n всегда следует (n+1) и др.

Z - множество целых чисел (нуль, все натуральные и им противоположные – отрицательные числа). Во множестве целых чисел всегда могут быть совершены операции сложения, вычитания, умножения, возведения в степень, тогда как операции деления и извлечения корня некоторой степени не всегда выполнимы. На первый взгляд множество Z казалось бы, гораздо богаче числами, чем множество N, но это не так Эквивалентность данных множеств устанавливается с помощью взаимно-однозначного соответствия: (четным числам – положительные целые, нечетным – отрицательные).

Q – множество рациональных чисел, это множество дробей вида где Множество рациональных чисел обладает свойством счётности (есть несколько способов подсчета рациональных чисел – табличный, с помощью взаимно-однозначного соответствия с точками плоскости и др.). Рациональные числа удобно располагать на числовой прямой (оси).

Каждому рациональному числу соответствует точка на числовой оси, но не каждой точке на числовой оси соответствует рациональное число (), доказательство несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной основано на применении теоремы Пифагора и свойствах делимости натуральных чисел:

, пришли к противоречию, что дробь несократима. Возникает необходимость расширения множества рациональных чисел, вновь водимые числа – иррациональные I, а их объединение образует множество действительных чисел R.

К возникновению множеств N,Z и Q привели практические потребности людей считать, указывать направление счета (долг-прибыль, верх-низ, право-лево и т.д.) и делить целое на части, а множества I, R и C образовались в связи с потребностями самой математики.

При обращении любой обыкновенной дроби в десятичную получается либо конечная, либо бесконечная периодическая десятичная дробь:

Любая периодическая десятичная дробь может быть обращена в обыкновенную по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: , <1.

Иррациональное число выражается бесконечной непериодической дробью.