Логические операции, равносильность формул

Цель работы. Изучить логические операции и основные равносильности алгебры логики, научиться составлять таблицы истинности для формул алгебры логики и преобразовывать формулы, используя основные равносильности и правила поглощения.

 

Рассмотрим следующие операции: отрицание, конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию и эквиваленцию.

Элементарные высказывания обозначаются прописными буквами латинского алфавита: А, В, С... X, Y, Z.

А= «Иванов разбил окно»,

В= «Петров разбил окно».

Задание 1

Постройте таблицы истинности для высказываний

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

Методические указания.

Отрицание

Логическая операция, соответствующая логической связке «не» («Неверно, что») называется отрицанием. В результате этой операции получается высказывание ложное, если исходное высказывание истинно, и истинное, если исходное высказывание ложно.

Х

Отрицание высказывания X обозначается .

Конъюнкция

Логическая операция, соответствующая союзу «и» (или близким по смыслу союзам «а» и «но»), называется конъюнкцией.В результате конъюнкции получается высказывание, истинное тогда и только тогда, когда оба элементарных высказывания X и Y истинны.

Используются обозначения: X Ù Y, X & Y.

X	Y	XÙY

Дизъюнкция

Логическая операция, соответствующая союзу «или», называется дизъюнкцией. В результате этой операции образуется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба составных высказывания ложны. Дизъюнкция обозначается XÚY.

X	Y	X Ú Y

Импликация

Логическая операция, имеющая вид «если X, то Y», называется импликацией.Высказывание X именуется посылкой (или антецедентом – предшествующим по-латыни), Y – заключением (или консеквентом – последующим). В результате импликации получается высказывание, ложное тогда и только тогда, когда посылка истинна, а заключение ложно. Обозначается импликация X ® Y

X	Y	X®Y

Эквиваленция

Логическая операция, соответствующая сложному союзу «тогда и только тогда, когда», «в том и только в том случае», «если и только если», называется эквиваленцией. Врезультате этой операции образуется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда оба составляющих его элементарных высказывания истинны или оба ложны.

Эквиваленция обозначается X«Y.

X	Y	X«Y

 

Приоритеты логических операций:

1. отрицание

2. конъюнкция

3. дизъюнкция

4. импликация

5. эквиваленция.

Это позволяет упрощать запись, избавляясь от лишних скобок.

Пример

Построить таблицу истинности для высказывания .

X	Y

Задание 2

Используя основные равносильности алгебры логики, докажите равносильность формул:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

Методические указания

Основные равносильности алгебры логики

№	Дизъюнкция	Конъюнкция
			Коммутативные
			Ассоциативные
			Дистрибутивные
			Идемпотентные
			Законы де Моргана
			Законы действий с 0 и 1
			Законы поглощения

Равносильности для импликации и эквиваленции, закон двойного отрицания

		Закон конрапозиции

Пример

Доказать, что .

Решение

Закон единицы для конъюнкции позволяет заменить X на X&1:

X (X&Y) (X&1) (X&Y).

Используя дистрибутивный закон, вынесем X заскобки:

X (X&Y) (X&1) (X&Y) X&(1 Y).

Закон единицы для дизъюнкции гласит 1 Y 1, а закон единицы для дизъюнкции X&1 X позволяет получить искомое выражение:

X (X&Y) (X&1) (X&Y) X&(1 Y) X&1 X, что требовалось доказать.

Задание 3

Используя основные равносильности алгебры логики, а также равносильности, упростите формулы:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) .

Методические указания.

Пример.

Используя основные равносильности алгебры логики, а также равносильности и , упростить формулу .

Решение

Ответ:

Задание 4 (обобщающее)

Методические указания

Логическую операцию «конъюнкция» в формулах алгебры логики можно опускать, т.е. выражение А&В можно записывать в виде АВ.

Пример. Для заданного высказывания .

1) построить таблицу истинности;

2) упростить высказывание, используя равносильные преобразования;

3) полученный результат проверить, построив для него таблицу истинности.

Решение.

1) Таблица истинности:

Пусть

X	Y	Z					U

2) Выполнить равносильные преобразования, используя и , имеем:

(в последнем преобразовании для первого и третьего слагаемых использовали правило поглощения (1), далее использовать другое правило поглощения (2), получили)

.

Еще раз использовали правило поглощения (2).

3) Для полученного выражения построить таблицу истинности:

X	Y	Z

Результирующие (последние) столбцы в двух таблицах совпали, следовательно, выполненные преобразования верны.

Задания для самостоятельной работы

Для заданного логического выражения (высказывания):

1) построить таблицу истинности;

2) упростить высказывание, используя равносильные преобразования;

3) полученный результат проверить, построив для него таблицу истинности.

Вариант		Вариант
1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.
23.		24.
25.		26.

Лабораторная работа №7

Приложения алгебры логики

Цель работы. Изучить приложения алгебры логики к построению электронных схем и решению логических задач.

 

Логические элементы на комбинационных схемах имеют обозначения:

Отрицание

Дизъюнкция

Конъюнкция

Например, схеме соответствует формула a&b&c, или abc, в которой символ конъюнкции опущен.

А схема реализует формулу

Задание 1

Для заданной комбинационной схемы построить аналитическое выражение и, если возможно, равносильную ей упрощенную схему.

Здесь U=x₁ x₂, V=x₃ x₄,

 

,

.

Преобразуем последнее выражение по закону де Моргана. Получаем .

Используя законы ассоциативности и правила приоритета логических операций, получаем . Осталось воспользоваться правилом поглощения , в результате получим упрощенную формулу, равносильную данной .

Ей соответствует упрощенная комбинационная схема

Задание 2

Для заданной логической таблицы функции y(a,b,c) записать аналитическое выражение и построить комбинационную схему.

a	b	c	y

 

Рассмотрим строки таблицы, в которых функция принимает значение 1. На базе этих строк построим элементарные конъюнкции по следующему правилу: единицу заменим именем аргумента, а нуль – именем аргумента с отрицанием. Полученные таким образом элементарные конъюнкции соединим знаками дизъюнкции. Для рассматриваемого примера имеем

.

Объединим первое и четвертое слагаемые и вынесем за скобки bc, получаем . Объединим первое и второе слагаемые, вынесем за скобки с, а к выражению в скобках применим правило поглощения:

Получаем Найденному аналитическому выражению соответствует схема

 

Задания для самостоятельной работы

Задание 1

Для заданной комбинационной схемы постройте аналитическое выражение, упростите его с помощью равносильных преобразований и, если возможно, нарисуйте упрощенную схему.

 

Задание 2

Для заданной логической таблицы функции y(a,b,c)) запишите аналитическое выражение и постройте комбинационную схему.

Вариант 1 A b c y	Вариант 2 A b c y
Вариант 3 A b c y	Вариант 4 A b c y
Вариант 5 A b c y	Вариант 6 A b c y
Вариант 7 A b c y	Вариант 8 A b c y
Вариант 9 A b c y	Вариант 10 A b c y
Вариант 11 A b c y	Вариант 12 A b c y
Вариант 13 A b c y	Вариант 14 A b c y
Вариант 15 A b c y	Вариант 16 A b c y
Вариант 17 A b c y	Вариант 18 A b c y
Вариант 19 A b c y	Вариант 20 A b c y
Вариант 21 A b c y	Вариант 22 A b c y
Вариант 23 A b c y	Вариант 24 A b c y
Вариант 25 A b c y