Вопрос 1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. 2.Понятие определенного интеграла как предела интегральной суммы. 3.Необходимое и достаточное условие существования определенного интеграла. 4.Геометрический, физический и химический смысл определенного интеграла.

Истоки определенного интеграла относятся к античному периоду развития математики и связаны с методом исчерпывания, разработанным математиками Древней Греции. Этот метод возник при решении задач на вычисление площадей плоских фигур и поверхностей, объемов тел, некоторых задач статики и гидромеханики. Он основан на аппроксимации рассматриваемых объектов ступенчатыми фигурами или телами, составленными из простейших пространственных тел (например, пирамиды Египта). В этом смысле метод исчерпывания можно рассматривать как античный интегральный метод. Наибольшее развитие метод исчерпывания в древнюю эпоху получил в работах Евдокса (4 в. до н.э.) и особенно Архимеда (3 в. до н.э.). Дальнейшее применение и совершенствование данного метода связано с именами многих ученых 15-17 в.в.

Вам хорошо известно имя Иогана Кеплера (1571-1630) - немецкого астронома, одного их творцов астрономии своего времени. Он открыл законы движения планет, заложил основы теории затмений, изобрел телескоп. Когда он готовился к свадьбе и закупал вино, то был изумлен тем, как торговец вином измерял содержимое бочки: тот брал палку с нанесенными на ней делениями, и, опустив в бочку палку, затем точно определял количество вина в ней.

Таким образом, Кеплер впервые познакомился с методом исчерпывания и с его помощью нашел объемы 92 тел, среди которых можно выделить такие как лимон, груша и др.

Основные понятия определенного интеграла, а также его применение к решению прикладных задач были разработаны в трудах И.Ньютона (1643-1727) и Г.Лейбница (1646-1716) в конце 18 века. Существенную роль в создании теории определенных интегралов в 18 веке сыграли работы Л.Эйлера Я., И. Бернулли, Ж.Лагранжа. В 19 веке (в связи с появлением понятия предела) понятие определенного интеграла приобрело завершенную форму в работах О.Коши, Б.Римана и др. Различные подходы к определению определенного интеграла в конце 19 века и в 20 веке привели к появлению различных типов определенного интеграла (И. Римана, И. Лебега, И Стилтьеса, И.Коши, И Колмогорова и др.). Большой вклад в развитие теории определенного интеграла внесли наши русские и советские математики: Д.Л.Чебышев, М.В. Остроградский, Стеклов, Егоров, Лузин, Колмогоров А.И. и др. С помощью определенного интеграла стало возможным решать единым методом многие теоретические и прикладные задачи, как новые, которые не поддавались решению, так и старые, требовавшие прежде специальных искусственных приемов.

К нахождению определенного интеграла сводится вычисление многих встречающихся на практике величин: площадей и поверхностей, объемов тел, работы переменной силы и др. Рассмотрим три задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

 

Вопрос 1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

 

Классы интегрируемых функций

T.3.2. (достаточное условие существования определенного интеграла)

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она интегрируема на нем.

 

Условие непрерывности функции является достаточным условием интегрируемости функции. Но это не означает, что определенный интеграл существует только для непрерывных функций. Класс интегрируемых функций гораздо шире.

Т.3.3. Если функция y = f(x) ограничена на отрезке [a;b] и имеет на нем конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.

 

Т.3.4. Всякая функция y = f(x), ограниченная и монотонная на отрезке [a;b], интегрируема на нем.

 

Вопрос 4. Геометрический, физический смысл определенного интеграла

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. 2.Понятие определенного интеграла как предела интегральной суммы. 3.Необходимое и достаточное условие существования определенного интеграла. 4.Геометрический, физический и химический смысл определенного интеграла.

Истоки определенного интеграла относятся к античному периоду развития математики и связаны с методом исчерпывания, разработанным математиками Древней Греции. Этот метод возник при решении задач на вычисление площадей плоских фигур и поверхностей, объемов тел, некоторых задач статики и гидромеханики. Он основан на аппроксимации рассматриваемых объектов ступенчатыми фигурами или телами, составленными из простейших пространственных тел (например, пирамиды Египта). В этом смысле метод исчерпывания можно рассматривать как античный интегральный метод. Наибольшее развитие метод исчерпывания в древнюю эпоху получил в работах Евдокса (4 в. до н.э.) и особенно Архимеда (3 в. до н.э.). Дальнейшее применение и совершенствование данного метода связано с именами многих ученых 15-17 в.в.

Вам хорошо известно имя Иогана Кеплера (1571-1630) - немецкого астронома, одного их творцов астрономии своего времени. Он открыл законы движения планет, заложил основы теории затмений, изобрел телескоп. Когда он готовился к свадьбе и закупал вино, то был изумлен тем, как торговец вином измерял содержимое бочки: тот брал палку с нанесенными на ней делениями, и, опустив в бочку палку, затем точно определял количество вина в ней.

Таким образом, Кеплер впервые познакомился с методом исчерпывания и с его помощью нашел объемы 92 тел, среди которых можно выделить такие как лимон, груша и др.

Основные понятия определенного интеграла, а также его применение к решению прикладных задач были разработаны в трудах И.Ньютона (1643-1727) и Г.Лейбница (1646-1716) в конце 18 века. Существенную роль в создании теории определенных интегралов в 18 веке сыграли работы Л.Эйлера Я., И. Бернулли, Ж.Лагранжа. В 19 веке (в связи с появлением понятия предела) понятие определенного интеграла приобрело завершенную форму в работах О.Коши, Б.Римана и др. Различные подходы к определению определенного интеграла в конце 19 века и в 20 веке привели к появлению различных типов определенного интеграла (И. Римана, И. Лебега, И Стилтьеса, И.Коши, И Колмогорова и др.). Большой вклад в развитие теории определенного интеграла внесли наши русские и советские математики: Д.Л.Чебышев, М.В. Остроградский, Стеклов, Егоров, Лузин, Колмогоров А.И. и др. С помощью определенного интеграла стало возможным решать единым методом многие теоретические и прикладные задачи, как новые, которые не поддавались решению, так и старые, требовавшие прежде специальных искусственных приемов.

К нахождению определенного интеграла сводится вычисление многих встречающихся на практике величин: площадей и поверхностей, объемов тел, работы переменной силы и др. Рассмотрим три задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

 

Вопрос 1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла