Вычисление разности потенциалов плоскости, двух плоскостей, сферы, шара, цилиндра

 

Используя связь между φ и определим разность потенциалов между двумя произвольными точками

1.

σ

Разность потенциалов поля равномерно заряженной бесконечной плоскости с поверхностной плотностью заряда σ.

2. Разность потенциалов поля двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей с поверхностной плотностью заряда σ.

 

Если х₁ = 0; х₂ = d, то или

 

 

3. Разность потенциалов поля равномерно заряженной сферической поверхности радиуса R.

Если r₁ = r, r₂ → ¥, то потенциал вне сферы

Внутри сферической поверхности потенциал всюду одинаков и равен

4. Разность потенциалов поля объемно заряженного шара радиуса R с общим зарядом Q.

Вне шара r₁, r₂ > R,

Внутри шара

 

 

5. Разность потенциалов поля равномерно заряженного цилиндра (или бесконечно длинной нити).

 

r > R:

 

 

Работа по переносу заряда в электростатическом поле. Потенциал поля

Лекция 3

Рассмотрим поле, создаваемое точечным зарядом . В любой точке этого поля на пробный точечный заряд действует сила. Если заряд перемещать в поле, то сила, приложенная к заряду, будет совершать над ним работу (см. рис.).

	При перемещении заряда из точки поля 1 в точку поля 2, сила, действующая на пробный заряд, будет меняться. Рассмотрим перемещение заряда на бесконечно малом участке , где силу можно считать постоянной. Тогда работа ,
Рис.1.

или

.

Работа при перемещении заряда из точки 1 в точку 2 равна

= = = (1)

Из формулы (1) видно, что работа по перемещению заряда из точки 1 в точку 2 не зависит от формы траектории, а зависит только от начального и конечного положений заряда в поле. Следовательно, электростатическое поле является потенциальным, как поле силы тяжести.

Работу в потенциальном поле можно представить как разность потенциальных энергий заряда в начальной и конечной точках поля.

(2)

Сопоставление формул (1) и (2) приводит к следующему выражению для потенциальной энергии заряда .

. (3)

Как видно из формулы (3) потенциальная энергия зависит от величины пробного заряда . Разные пробные заряды в одной и той же точке поля будут обладать различными потенциальными энергиями. Однако отношение будет одинаковым для всех пробных зарядов и может служить характеристикой самого поля. Величина

(4)

Называется потенциалом поля в данной точке.

Физическая величина, являющаяся энергетической характеристикой поля и численно равная отношению потенциальной энергии пробного заряда, помещенного в рассматриваемую точку поля, к этому заряду называется потенциалом поля.

Потенциал величина скалярная.

Из формулы (4) видно, что потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладал бы в данной точке поля единичный положительный заряд.

Потенциал, создаваемый точечным зарядом равен

,

где - расстояние от заряда до точки поля, где определяется потенциал.

Рассмотрим поле, создаваемое системой точечных зарядов . Работа, совершаемая силами этого поля над пробным зарядом , будет равна алгебраической сумме работ сил, обусловленных каждым из зарядов в отдельности в силу принципа суперпозиции.

, (5)

где

, (6)

- расстояние от заряда до начального положения заряда , - расстояние от заряда до конечного положения заряда .

Подставим (6) в (5). Тогда

- (7)

и потенциальная энергия заряда в поле системы зарядов будет равна

, (8)

а потенциал поля, создаваемый системой точечных зарядов

. (9)

Потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.

Напряженности складываются при наложении полей векторно, а потенциалы – алгебраически. Поэтому вычисление потенциалов намного проще, чем вычисление напряженностей поля.

Из определения потенциала следует, что

.

Следовательно, работа сил поля над зарядом может быть выражена как

. (10)

Работа, совершаемая над зарядом силами поля равна произведению этого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках.

Если заряд, находящийся в точке с потенциалом , удаляется на бесконечность (где по условию потенциал равен нулю), работа сил поля равна

, а . (11)

Потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки поля на бесконечность.

Из формулы (11) можно установить единицу измерения потенциала [ ] = Дж/Кл = В.

1В – потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией в 1Дж.