Условие неразрывности для несжимаемой жидкости

Вы­бе­рем се­че­ния и на­столь­ко ма­лень­ки­ми, то есть труб­ку тока на­столь­ко тон­кой, что в каж­дом её се­че­нии ско­рость () можно счи­тать оди­на­ко­вой. Тогда можно вы­чис­лить ко­ли­че­ство жид­ко­сти, пе­ре­те­ка­ю­щей за опре­де­лён­ной время через по­верх­ность и .

Масса, ко­то­рая пе­ре­ш­ла за время через по­верх­ность : , где – плот­ность жид­ко­сти.

Также можно вы­чис­лить массу, ко­то­рая пе­ре­ш­ла через по­верх­ность за время t: .

Так как ко­ли­че­ство ве­ще­ства, ко­то­рое втек­ло в объём и ко­то­рое из него вы­тек­ло, оди­на­ко­во, то .

Если рас­смат­ри­вать несжи­ма­е­мые жид­ко­сти, то плот­ность ве­ще­ства в се­че­нии сов­па­да­ет с плот­но­стью ве­ще­ства в се­че­нии .

Сле­до­ва­тель­но, по­лу­ча­ем сле­ду­ю­щее со­от­но­ше­ние: .

То есть для несжи­ма­е­мой жид­ко­сти, про­из­ве­де­ние ско­ро­сти на пло­щадь по­пе­реч­но­го се­че­ния труб­ки тока оди­на­ко­во вдоль всей труб­ки: – усло­вие нераз­рыв­но­сти. Это озна­ча­ет, что, чем мень­ше по­пе­реч­ное се­че­ние, тем боль­ше ско­рость.

Уравнение Бернулли

Ди­на­ми­ка дви­же­ния ре­аль­ной жид­ко­сти очень слож­ная, од­на­ко в неко­то­рых слу­ча­ях можно пре­не­бречь вяз­ко­стью жид­ко­сти, то есть на­ли­чи­ем тре­ния между раз­лич­ны­ми сло­я­ми жид­ко­сти. В этом слу­чае при дви­же­нии жид­ко­сти не вы­де­ля­ет­ся тепло, то есть со­хра­ня­ет­ся ме­ха­ни­че­ская энер­гия. Закон дви­же­ния такой иде­аль­ной несжи­ма­е­мой жид­ко­сти без вяз­ко­сти на­зы­ва­ет­ся урав­не­ни­ем Бер­нул­ли, ко­то­рое пол­но­стью ос­но­ва­но на за­коне со­хра­не­ния ме­ха­ни­че­ской энер­гии.

Рас­смот­рим энер­ге­ти­че­ские со­от­но­ше­ния при дви­же­нии иде­аль­ной несжи­ма­е­мой жид­ко­сти. Вы­де­ля­ем неко­то­рую труб­ку тока, огра­ни­чен­ную се­че­ни­я­ми и (см. рис. 3). За неко­то­рое время масса жид­ко­сти, за­клю­чён­ной между се­че­ни­я­ми и , сме­стит­ся. Се­че­ние пе­рей­дёт в се­че­ние , а – в .

Рис. 3. Труб­ка тока

Рас­смат­ри­ва­ем не толь­ко очень ма­лень­кие се­че­ния труб­ки тока, но и очень ма­лень­кие про­ме­жут­ки вре­ме­ни, в те­че­ние ко­то­рых се­че­ния сме­стят­ся на очень ма­лень­кую ве­ли­чи­ну. Будем пре­не­бре­гать из­ме­не­ни­ем пло­ща­ди се­че­ний, из­ме­не­ни­ем вы­со­ты, ско­ро­сти и дав­ле­ния на этих се­че­ни­ях. С учё­том этих дан­ных рас­счи­та­ем ра­бо­ту внеш­них сил над дан­ным объ­ё­мом жид­ко­сти. Эта ра­бо­та скла­ды­ва­ет­ся из таких работ:

1) Внеш­няя часть жид­ко­сти давит на се­че­ние с силой , по­это­му со­вер­ша­ет ра­бо­ту при пе­ре­ме­ще­нии этого се­че­ния.

2) Внеш­няя часть жид­ко­сти давит на се­че­ние с силой и со­вер­ша­ет от­ри­ца­тель­ную ра­бо­ту при пе­ре­ме­ще­нии этого се­че­ния.

Также ме­ня­ет­ся ки­не­ти­че­ская и по­тен­ци­аль­ная энер­гия жид­ко­сти.

Для того чтобы легче было это по­нять, рас­смот­рим объём жид­ко­сти, за­клю­чён­ный между се­че­ни­я­ми и . Энер­гия, масса, ско­рость, дав­ле­ние и осталь­ные ха­рак­те­ри­сти­ки этого объ­ё­ма не из­ме­ни­лись в силу ста­ци­о­нар­но­сти дви­же­ния. По­это­му вся ра­бо­та внеш­них сил при­ве­ла к тому, что энер­гия части жид­ко­сти между и пе­ре­ме­сти­лась в часть между и с ниже по­счи­тан­ны­ми из­ме­не­ни­я­ми:

-ра­бо­та внеш­них сил в верх­ней части труб­ки: ;

-ра­бо­та внеш­них сил в ниж­ней части труб­ки ( сдви­га­ет­ся в сто­ро­ну про­ти­во­по­лож­ную силе дав­ле­ния, по­это­му ра­бо­та имеет знак минус): ;

-сум­мар­ная ра­бо­та, про­из­ве­дён­ная над объ­ё­мом, пе­ре­дви­нув­шим­ся за время : .

Вы­чис­лим из­ме­не­ние энер­гии рас­смот­рен­но­го от­рез­ка труб­ки тока (из­ме­не­ние энер­гии части жид­ко­сти между и по срав­не­нию с энер­ги­ей между и ), для этого из энер­гии ко­неч­ной от­ни­ма­ем энер­гию на­чаль­ную.

Из­ме­не­ние по­тен­ци­аль­ной энер­гии (по­тен­ци­аль­ная энер­гия – это масса (масса – это плот­ность (), умно­жен­ная на объём, а объём в дан­ном слу­чае – это по­пе­реч­ное се­че­ние на длину участ­ка между и или и ()), умно­жен­ная на уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния () и вы­со­ту этого участ­ка над неко­то­рым ну­ле­вым уров­нем):

.

Из­ме­не­ние ки­не­ти­че­ской энер­гии (масса, умно­жен­ная на квад­рат ско­ро­сти и де­лён­ная на два): .

Из­ме­не­ние энер­гии в со­от­вет­ствии с за­ко­ном со­хра­не­ния энер­гии равно ра­бо­те внеш­них сил.

При­рав­ни­ва­ем эти ве­ли­чи­ны и пе­ре­но­сим сла­га­е­мые с оди­на­ко­вы­ми ин­дек­са­ми в одну сто­ро­ну. Со­кра­тив , и (со­глас­но усло­вию нераз­рыв­но­сти ), по­лу­ча­ем окон­ча­тель­ный ре­зуль­тат: .

Се­че­ния и были вы­бра­ны про­из­воль­но, по­это­му урав­не­ние можно за­пи­сать в таком виде: .

Мы по­лу­чи­ли урав­не­ние Бер­нул­ли. Это урав­не­ние утвер­жда­ет, что сумма фи­зи­че­ских ве­ли­чин () по­сто­ян­на вдоль очень узкой труб­ки тока. В ма­те­ма­ти­че­ском смыс­ле сле­ду­ет устре­мить се­че­ние этой труб­ки к нулю, то есть по­лу­чим линию тока. Сле­до­ва­тель­но, вдоль любой линии тока.