Действия над векторами, заданными своими координатами

Если , , то

;

;

.

Длина вектора: .

Координаты вектора, если известны координаты

его начала и конца :

,

длина вектора: .

Координаты точки , принадлежащей отрезку , и делящей его в отношении ():

.

Если точка середина отрезка , то

.

Скалярное произведение векторов и его свойства

Определение скалярного произведения

, где - угол между векторами и

(если или , то ).

Свойства: 1) 2) ( число);

3) .

Выражение скалярного произведения векторов через координаты векторов:

если , , то .

Выражение скалярного произведения через проекции:

или .

Косинус угла между векторами и вычисляется по формуле:

,

или через координаты векторов:

Правые и левые тройки векторов. Тройку некомпланарных ненулевых векторов , взятых в указанном порядке, называют правой тройкой, если после приведения их к одному началу при взгляде из конца третьего вектора на плоскость первых двух векторов кратчайший поворот от первого вектора ко второму кажется совершающимся против часовой стрелки. Если – по часовой стрелке, то тройку называют левой.

Векторное произведение векторов и его свойства

Определение векторного произведения

Векторным произведением двух ненулевых неколлинеарных векторов и называется такой вектор , который обозначается , и обладает следующими свойствами:

1) где - угол между векторами и ;

2)

3) векторы в указанном порядке образуют правую тройку.

Если один из векторов или нулевой, или векторы и коллинеарны, то .

Свойства: 1) 2) ( число);

3) .

Если векторы и заданы своими координатами, т.е. , , то векторное произведение находится по формуле , или в координатной форме .

Длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, если эти векторы приведены к одному началу: .

Смешанное произведение векторов

Определение. Смешанным произведением трех векторов называют скалярное произведение векторов и . Обозначают смешанное произведение . Итак, .

Если известны координаты векторов , , , то смешанное произведение находится по формуле

.

Объем параллелепипеда, построенного на векторах как на сторонах, если эти векторы приведены к одному началу, находится по формуле: .

Объем пирамиды, построенной на векторах как на сторонах, если эти векторы приведены к одному началу, находится по формуле:

.

Если , то тройка векторов - правая, если же , то тройка - левая.

Условие коллинеарности двух векторов

В векторной форме: .

В координатной форме: если , , то

.

Условие перпендикулярности двух векторов

В векторной форме: .

В координатной форме: если , , то

.

Условие компланарности трех векторов

В векторной форме:
ненулевые векторы компланарны в том и только том случае, если .

В координатной форме: если , , , то ненулевые векторы компланарны в том и только том случае, если .

Прямая на плоскости