Круговое свойство дробно-линейной функции.

W=az+b/cz+d; - дробно-линейное отображение (a,b,c,d – комплексные числа) Теорема. При дробно-линейном отображении образом любой окружности или прямой является окружность или прямая. □ w=a*z+b

рассмотрим: Это отображение сводится к подобию, повороту и переносу. Следовательно, окружности в окружности а прямые в прямые. При W=az+b/cz+d не линейной (коэфф С не нулевой) представим ее в виде W=A+B/z+z₀ где A=a/c;B=(bc-ad)/c²;z₀=d/c. Тогда отображение сводится к последовательному выполнению след отображений:

=z+z₀; =1/ ; w=A+B ; Первое и третье обладают круговым свойством в силу линейности. Докажем что и w=1/z обладает этим свойством. Уравнение любой окружности или прямой на комплексной плоскости имеет вид (x²+y²)+ x+ y+ =0; (при =0 это уравнение прямой) x²+y²=|z|²=z ; x=1/2(z+ ); y=1/2i(z- ); уравнение теперь имеет вид z +Dz+ + =0; где D=1/2() подставляем в w=1/z и получаем

Следовательно образом окружности (или прямой при =0)

При отображении w=1/z является окружность (прямая при =0) ■ Отметим что W=az+b/cz+d переводит окружности и прямые, проходящие через z₀=-d/c в прямые, а остальные окружности и прямые – в окружности. Прямай – это окружность бесконечного радиуса – следовательно все окружности переходят в окружности J

+27. Принцип сохранения симметрии при дробно-линейном отображении.

 

Точки M и M^* симметричные относительно окружности Г, если они лежат на одном луче, выходящем из O, и OM х OM^*=R²; Каждая точка окружности симметрична сама себе относительно окружности.

Теорема. При дробно-линейном отображении пара точек, симметричных относительно окр, переходят в пару точек, симметричных относительно образа этой окр. Здесь окружность может быть в частности и прямой. Чтобы доказать теорему надо сначала доказать лемму.

Лемма: Точки M и M^* являются симметричными тогда и тока тогда, когда любая - окружность, проход через точки, пересекается и Г под прямым углом.

 

□Необходимость. Пусть M, M^*симм относительно Г радиуса R с центром в O. Рассмотрим проходящую через M и M^*, проведем из O прямую, касающуюся в точке P. Т.к. квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть то OP²=OMxOM^*. Так как точки симметричны относительно Г то OP=R, следовательно окружности пересекаются под прямым углом. ■

□Достаточность. Любая окружность проходящая через M и M^* пересекается с Г под прямым углом, тогда и любая прямая (частный случай окружности) проход через две эти точки, тоже пересекает Г под прямым углом. Значит прямая проходит центр окружности O. Более того, точки M и M^* лежат на одном луче, выходящем из O, так как в противном случае окружность радиуса ½ MM^* не пересекала бы Г под прямым углом. Докажем что OM х OM^*=R²: Пусть окружности пересекаются в точке P, тогда OP – касательная к и OM х OM^*=R² (по теореме о квадрате касательной) ■

 

+27.Теперь имея лемму докажем Теорему о симметрии

 

□Пусть точки z и z^* симметричны относительно Г и пусть дробно-линейное отображение w=f(z) переводит Г в а точки z и z^* в точки w и w^* соответственно. В силу кругового свойства - окружность. Нужно доказать что w и w^*симмотн . Для этого в силу леммы достаточно доказать что любая

проход через эти две точки, пересекает под прямым углом. Прообразом окружности

Является окружность проход через z и z^* и эта окружность пересекает Г под прямым углом.

Следовательно, и пересекаются тоже под прямым углом, так как дробно-линейное отображение является конформным во всей расширенной комплплоскоти и сохраняет углы между кривыми в каждой точке! ■

28. Конформное отображение дробно-линейной функцией:

а) верхней полуплоскости на единичный круг

б) единичного круга на единичный круг.

 

a) Imz>0 на |w|<1 имеет вид W=(z-z₀/z- ₀)eⁱ (1)

где - действительно число.

□Пусть дробно-линейная функция w=w(z)

Отображает полуплоскость на круг так, что w(z₀)=0 (Imz₀>0) Тогда в силу сохранения симметрии w( ₀)= и w=A(z-z₀/z- ₀), (так как всякое дробно линейное отобр, переводящее точку z₁ в 0 а z₂ в равно w=A(z-z₁/z-z₂))

покажем что |A|=1. Так как точки действительной оси переходят в точки единичной окружности, то есть |w|<1 при действительныхz=x то

1=|A(z-z₀/z- ₀)|= |A| (так как z-z₀=z- ₀) Следовательно A=eⁱ ■ Всякое комфорное отображение имеет именно вид (1) – так как по теореме Римана существует единственное такое отображение, удовлетворяющее условиям.

 

б) |z|<1 на круг |w|<1 имеет видw=(z-z₀/1-z ₀)eⁱ (1)

где - действительно число.

□Пусть дробно-линейная функция w=w(z) отображает круг |z|<1 на круг |w|<1 так, что w(z₀)=0 Тогда в силу сохранения симметрии w(1/ ₀)= и имеем w=A(z-z₀/1-z ₀) (так как всякое дробно линейное отобр, переводящее точку z₁ в 0, а z₂ в равно w=A(z-z₁/z-z₂)). Покажем что |A|=1. Так как точки единичной окр переходят в точки едокр, то 1=|A(eⁱ -z₀/1-e^{i *} ₀)|=|A| (так как | eⁱ -z₀|=|e^-i - ₀|)Следовательно A=eⁱ ■

29. Конформные отображения элементарными функциями (z²,zⁿ,√z, ⁿ√z).

a) w=z² = R²eⁱ² . Однолистная в области, когда в области нет точек связанных равенством z₁=-z₂ (нет ни одно пары точек, симметричных относительно z=0)

Образы лучей argz= и дуг окружностей |z|= . Линии argz=const и |z|=const образуют координатную сетку на плоскости z. (полярные координаты)

Образы прямыхRez=с и Imz=с Взаимо однозначно переводит Rez=с в параболу v²=2p(p/2-u) а прямую Imz=с в параболу v²=2p(u+p/2) здесь p=2c²; w=u+iv;

 

б) w= Обратная к функции w=z²: аналитическая плоскости z с выколотыми z=0, ,а в плоскости с разрезом, соединяющим 0 и , распадается на две регулярные ветви.

 

= e^{i( +2 k)/2}

в) w= =| | eⁱ⁽

 

30. Конформные отображения функциями е^z, Lnz, функцией Жуковского.

а)W=1/2(z+1/z) - функция регулярна в точках кроме 0 и причем (z)=1/2(1-1/z²) а в точках z=0 и z= полюсы первого порядка. Однолистна в след областях

1-|z|>1

2-|z|<1

3-ImZ>0

4-ImZ<0

 

б)W=e^z =e^x+di=|e^x|e^diw=e^ce^iyc=0 – единичная окружность c<0 – единичный круг, c>0 – внешнось

 

в)W=LnZ=ln|z|+iargz+2 ki;