Средняя арифметическая взвешенная

На конец 2007 года размеры земельных участков, предоставленных для ведения крестьянского (фермерского) хозяйства (К(Ф)Х) в Российской Федерации, характеризуются данными таблицы 1.3.

Таблица 1.3

Земельные участки крестьянских (фермерских) хозяйств

№ п.п	Размер земельного участка, га	Удельный вес в общем числе хозяйств, %
	до 3	18,0
	4 - 6	9,7
	7 - 11	13,9
	12 - 18	15,5
	19 - 49	18,7
	50 - 70	6,0
	71 - 101	5,7
	102 - 200	7,0
	свыше 200	5,5
	Итого	100,0

 

Используя исходные данные (по вариантам) определяем средний размер земельного участка, предоставленный для ведения К(Ф)Х, соблюдая следующую последовательность действий:

1. Записываем исходное логическое соотношение для данной средней:

2. Обозначаем значение усредняемого признака (размер земельного участка) через X, а частоту повторения данного признака (количество К(Ф)Х) через f.

3. Так как значения усредняемого признака заданы в виде интервалов, то найдем их середины, т.е. . При этом величину первого интервала условно приравняем к величине второго, тогда его нижняя граница будет равна 1 га. Величину последнего интервала условно приравняем к величине предпоследнего, тогда его верхняя граница составит 299 га. В результате получаем следующие середины интервалов ():

2 га, 5 га, 9 га, 15 га, 34 га, 60 га, 86 га, 151 га, 249 га.

4. Роль числа К(Ф)Х в данном случае выполняет их доля в общем итоге, выраженная в процентах. Для расчета воспользуемся формулой средней арифметической взвешенной:

По результатам расчета - средний размер К(Ф)Х в РФ равен 43,5 га. На рисунке 1.1 представлена кольцевая диаграмма распределения земельных участков К(Ф)Х, которая позволяет наглядно отобразить результаты проведенных расчетов. Из данной диаграммы видно, что наибольший удельный вес (18%) занимают земельные участка площадью от 19 до 49 га. Участки площадью 50-70 га, 71-101 га и свыше 200 га занимают наименьший удельный вес (6%).

Рис. 1.1. Кольцевая диаграмма распределения земельных участков К(Ф)Х

После изучения параграфов 1.2.1-1.2.3 студент сможет:

- объяснить сущность и значение абсолютных и относительных величин, а также их применение по видам и формам выражения;

- обосновать выбор формулы средней величины;

- раскрыть содержание и особенности расчета средних величин разных видов;

- объяснить свойства и значение средней арифметической как наиболее распространенной в статистике.

 

Структурные средние

Помимо перечисленных в предыдущем параграфе средних величин в статистике широко применяются структурные средние, характеризующие структуру рядов распределения. Это – мода и медиана.

Мода (Mo) – это значение признака, который чаще всего встречается в статистическом ряду.

Медиана (Me) – значение признака (варианта), приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности, т.е. это вариант, который делит ряд распределения на две равные по объему части. Медиана обладает важными свойствами. В частности, сумма модулей отклонений вариантов от медианы всегда меньше, чем сумма отклонений вариантов от любой другой величины, т.е. . Это свойство медианы широко используется при определении экономической целесообразности применения отдельно взятого процесса или явления.

Медиана и мода не зависят от крайних значений вариантов, поэтому применяется для характеристики центра в ряду распределения с неопределенными границами.

Студенту необходимо привести алгоритм расчета моды и медианы, используя интервальный ряд по данным о кадастровой стоимости земель населенного пункта. Пример расчета приведен в таблице 1.4.

таблица 1.4

Алгоритм расчета моды и медианы по данным кадастровой стоимости земель населенного пункта

Кадастровая стоимость земель, тыс.руб/кв.м	Количество земельных участков (f)	Накопленная частота (S)	Середина интервала ()
до 14
14 - 16
16 - 18
18 - 20
свыше 20
Итого		-	-

По данным таблицы 1.4, наибольшая кадастровая стоимость принадлежит земельным участком в интервале 14 – 16 тыс.руб./кв.м (графа 1). Это и есть модальный интервал, ширина интервала i = 2, а нижняя граница x₀ = 14, частота f_мо = 30, предмодальная частота f_мо-1 = 20, а послемодальная частота f_мо+1 = 25.

Модальное значение кадастровой стоимости в интервальном вариационном ряду определяется по формуле:

где и i – соответственно нижняя граница и величина модального интервала; , , - частота (частотости) модального, предмодального и послемодального интервала.

тыс. руб./кв.м

Таким образом, в данной совокупности земельных участков наиболее часто встречается кадастровая стоимость в размере 15,3 тыс. руб./кв.м.

При выполнении данного задания необходимо обращать особое внимание:

1. Если используется интервальный ряд распределения то, допускается, что распределение в границах i -го интервала является равномерным, как вариант X_i, используют середину интервала (). При этом величину открытого интервала условно считают такой же, как и величину соседнего закрытого интервала.

2. На расчет кумулятивной (накопленной) частоты, S_i, характеризующей объем совокупности со значениями вариантов, не превышающих Xi. Кумулятивные частотные показатели образуются последовательным суммированием абсолютных и относительных частот: S₁ = f₁; S₂ = f₁ + f₂; S₃ = f₁ + f₂ + f₃ и т.д.

Для определения медианы в ранжированном ряду необходимо вначале найти номер медианы:

Накапливаем частоты (см. графу 2 таблица 1.4) и определяем, что 50,5 земельных участков приходятся на интервал кадастровой стоимости 16 – 18 тыс.руб./кв.м.

Нахождение медианы на данном интервале определим по формуле:

где и i – соответственно нижняя граница и величина медианного интервала; f_Me – частота медианного интервала; S_Me-1 – кумулятивная частота предмедианного интервала.

По расчетам определяем, половина (50%) земельных участков имеет кадастровую стоимость выше 16 тыс.руб./кв.м, и половина (50%) имеет кадастровую стоимость ниже 16 тыс.руб./кв.м.

В умеренно асимметричных рядах распределения значения моды и медианы соотносятся следующим образом:

.

В рассмотренном примере соотношение характеристик центра распределения кадастровой стоимости земельных участков свидетельствует об умеренной асимметрии: 3 • (16,3-16) 16,3-15,3.

После изучения параграфа 1.2.4 студент сможет:

-раскрыть природу и практическое значение структурных средних (мода, медиана) как особой разновидности средних величин в статистике;

- проводить различие между алгебраическими средними и структурными средними величинами.