Второе свойство параллелограмма

Свойство 2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Дано:

– параллелограмм ().

Доказать: (см. Рис. 3).

Доказательство:

Проведем диагонали и и отметим их точку пересечения: . Рассмотрим треугольники и .

Рис. 3

Они равны по второму признаку равенства треугольников (стороне и двум прилежащим к ней углам). Действительно:

(по 2-му признаку равенства треугольников)

Равенство углов вновь следует из того, что они являются внутренними накрест лежащими при соответствующей секущей и параллельных прямых (которыми являются противоположные стороны параллелограмма по определению). Противоположные стороны равны по доказанному выше свойству 1.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов. Значит: .

Доказано.

Доказанные свойства параллелограмма позволяют решать многочисленный класс задач. Разберём несколько примеров.

Примеры задач на свойство параллелограмма

Пример 1.

Периметр параллелограмма равен 48 см. Найти его стороны, если одна сторона на 3 сантиметра больше другой (см. Рис. 4).

Дано:

– параллелограмм, . .

Найти:

Решение:

Рис. 4

Обозначим меньшую сторону параллелограмма . Учитывая свойство 1 для параллелограмма, запишем следующее равенство: . Из условия: .

Напомним, что периметр многоугольника – это сумма всех его сторон. Поэтому можем записать следующее равенство: .

Или: .

Получаем, что стороны параллелограмма: , .

Ответ: .

Пример 2

Биссектриса угла параллелограмма пересекает сторону в точке . . Найдите периметр параллелограмма.

Дано:

– параллелограмм, – биссектриса. . .

Найти:

Решение:

Рис. 5

Вспомним определение биссектрисы: биссектриса делит угол пополам. Это значит, что: . Кроме того, является секущей при параллельных прямых . А это значит, что внутренние накрест лежащие углы равны: .

Из этого получается:

.

Так как , то . Откуда: .

Периметр – сумма всех сторон, у параллелограмма противоположные стороны равны. Получаем: .

Ответ: .

Итак, мы рассмотрели определение и свойства параллелограмма, в частности: равенство противоположных сторон и углов, а также то, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, и использовали эти свойства при решении задач.

В дальнейшем мы изучим признаки параллелограмма, а также научимся применять свойства и признаки параллелограмма при решении более сложных примеров.

Домашнее задание

1. Найдите периметр параллелограмма , если сторона равна и составляет стороны .

2. Периметр параллелограмма равен . Найдите стороны параллелограмма, если одна из них на больше другой.

3. Найдите углы параллелограмма, если градусные меры двух его углов относятся как .

4. Точка пересечения диагоналей параллелограмма удалена от двух его вершин на и . Найдите длины диагоналей параллелограмма.

 

Урок 7: Признаки параллелограмма

На сегодняшнем уроке мы повторим основные свойства параллелограмма, а затем уделим внимание рассмотрению первых двух признаков параллелограмма и докажем их. В ходе доказательства вспомним применение признаков равенства треугольников, которые мы изучали в прошлом году и повторяли на первом уроке. В конце будет приведен пример на применение изученных признаков параллелограмма.