Второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

 

, (9)

 

где и - постоянные действительные числа.

Непосредственно можно доказать, что справедлива следующая теорема.

Теорема 2.1 Если функции и являются решениями уравнения (9), то функция также является решением этого уравнения при любых значениях постоянных и .

 

Из теоремы 2.1, как следствие, вытекает, что если и - решения уравнения (9), то решениями его будут также функции и . Итак, функции вида с произвольными постоянными и являются решениями уравнения (9). Естественно возникает вопрос, не является ли выражение общим решением уравнения (9)? Для ответа на вопрос введем понятия линейной зависимости и линейной независимости функций и .

Функции и называются линейно зависимыми на , если существуют такие числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что для имеет место равенство

 

(10)

 

Очевидно, что функции и линейно зависимы тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е. выполняется равенство , или const.

Функции и называются линейно независимыми на , если не существуют таких чисел , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что для имеет место равенство (10). Другими словами, равенство (10) выполняется для тогда и только тогда, когда .

Например, функции и линейно зависимы: const; функции и - линейно независимы:

const.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.2 (о структуре общего решения однородного уравнения). Если два частных решения и уравнения (9) являются линейно независимыми на , то общее решение этого уравнения имеет вид

 

, (11)

 

где и - произвольные постоянные.

 

Из теоремы 2.2 следует, что для отыскания общего решения уравнения (9) достаточно найти два линейно независимых частных решения и составить выражения (11) с произвольными постоянными и .

Будем искать эти частные решения уравнения (9) в виде

 

, (12)

 

где const. Здесь - действительное или комплексное число, подлежащее определению. Тогда , . Подставляя эти выражения в уравнение (9), получим . Отсюда, учитывая, что , имеем:

 

(13)

 

Уравнение (13) называется характеристическим уравнением линейного однородного уравнения (9). Заметим, что характеристическое уравнение получается из дифференциального заменой на , на и на 1. Характеристическое уравнение (13) и дает возможность найти параметр .

Уравнение (13) является квадратным уравнением и возможны три случая.

Случай 1. Корни и действительные и различные: ().

В этом случае по формуле (12) получим два частных решения , которые являются линейно независимыми.

Действительно,

const.

По теореме 2.2 следует, что общее решение уравнения (9) будет

 

(14)

 

Пример 5 Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

 

Решение: Составляем характеристическое уравнение , откуда . Поэтому общее решение есть . Найдем частное решение, т.е. постоянные и .

Дифференцируя общее решение, получим .

Согласно заданным начальным условиям имеем:

 

 

Таким образом, искомое частное решение имеет вид

 

Случай 2. Корни характеристического уравнения (13) действительные и равные: .

В этом случае имеем лишь одно частное решение . Вторым частным решением является функция (докажите самостоятельно!)

Заметим, что решения и линейно независимы:

const.

Следовательно, общее решение уравнения (9) имеет вид

 

(15)

 

Пример 6 Найти общее решение уравнения

 

 

Решение: Характеристическое уравнение

имеет действительные и равные корни . Поэтому согласно формуле (15) искомое общее решение имеет вид .

Случай 3. Корни характеристического уравнения (13) комплексные:

Можно доказать, что следующие функции

,

являются решениями уравнения (9). Эти решения линейно независимы, так как сonst. Поэтому общее решение уравнения (9) в случае комплексных корней имеет вид

 

(16)

 

Пример 7 Найти общее решение уравнения

 

Решение: Характеристическое уравнение имеет вид . Находим его корни:

Отсюда . Поэтому . Согласно формуле (16) общее решение имеет вид .

 

Вывод: Таким образом, нахождение общего решения однородного уравнения (9) сводится к нахождению корней характеристического уравнения (13) и использованию формул (14)-(16) общего решения уравнения.

 

Задания для самостоятельного решения

Найти общие решения уравнений:

 

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) .

 

 

Найти решения задач Коши:

 

11) , , ;

12) , , ;

13) , , ;

14) , , .