Стандартные разложения функций в ряд Маклорена

№№ п/п	Функция	Ряд Маклорена	Интервал сходимости
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Биномиальный ряд
7.
8.
9.

12.5.5. ПРИМЕРЫ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ

Пример 13. Вычислить значение точностью до 0,001.

Решение. Ряд Маклорена для функции :

сходится в интервале . Полагая , получим:

Для того чтобы выбрать необходимое число членов полученного числового ряда для вычисления значения е с заданной точностью, оценим остаток ряда при .

Заметим, что все члены последнего ряда не превышают значений соответствующих членов ряда

представляющего собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Следовательно, по теореме о сравнении знакоположительных рядов и ошибка, допускаемая при замене суммы ряда частичной суммой, не превосходит . Учтем, что при величина Значит, для вычисления с точностью до 0,001 достаточно взять сумму первых пяти членов ряда:

Пример 14. Пользуясь соответствующим рядом, вычислить с точностью до 0,001.

Решение. Выполним следующее преобразование:

Применяя биномиальный ряд и полагая , , получим:

Учитывая, что в полученном знакочередующемся ряде значение четвертого члена меньше 0,001, делаем вывод: для вычисления с заданной точностью достаточно взять сумму трех первых членов ряда:

РЯДЫ ФУРЬЕ

Тригонометрический ряд (1),

коэффициенты которого определяются формулами

(2)

называется рядом Фурье, а числа – коэффициентами Фурье функции . Ряд Фурье, построенный для функции , обозначается так:

.

● Большое практическое значение имеет следующая задача: по заданной периодической функции с периодом найти всюду сходящийся ряд (1), имеющий сумму . Эта задача называется разложением данной функции в ряд Фурье.

● Если отрезок можно разбить внутренними точками так, что на каждом из полученных промежутках и будут непре-

рывны и, кроме того, существуют конечные односторонние пределы и

в концевых точках этих промежутков, то такая функция называется кусочно-дифференцируемой. Кусочно-дифференцируемая на отрезке функция может быть на нем непрерывной или иметь конечное число точек разрыва первого ряда.

 

13.1. Достаточное условие разложения
функции в ряд Фурье

 

Если функция кусочно-дифференцируема на отрезке , то ее ряд Фурье сходится в каждой точке , и имеет сумму

.

На концах отрезка сумма ряда Фурье определяется формулой:

.

Кроме того, если – точка непрерывности , то

.

Пример 18. Разложить в ряд Фурье периодическую и заданную в интервале функцию Построить график функции и второй частичной суммы ее разложения в ряд Фурье.

Решение. Данная функция имеет одну точку разрыва первого рода при , а точки экстремума отсутствуют. Следовательно, данная функция удовлетворяет условиям Дирихле и может быть представлена рядом Фурье.

Интервал симметричен относительно начала координат и на этом интервале , следовательно, данная функция нечетная и ее ряд Фурье не содержит косинусов, так как коэффициенты Фурье .

Найдем коэффициенты :

Разложение данной функции в ряд Фурье запишется следующим образом:

Далее построим график данной функции (рис. 46, а).

 

Рис. 46, а

 

Для того чтобы выяснить, каким образом график функции приближается графиками последовательных частичных сумм полученного ряда, изобразим на рисунке графика самой функции последовательные гармоники ряда (пунктиром) и график 1-й и 2-й частичных сумм (рис. 46, б). Как видно из этого рисунка, чем больше последовательных гармоник ряда включает в себя частичная сумма, тем ближе график частичной суммы подходит к графику данной функции.

 

13.2. Ряд Фурье для функции, заданной на отрезке

 

,

где ,

.

Замечание. Условия сходимости ряда Фурье для функции , заданной на отрезке аналогичны условиям разложения функции в ряд Фурье на отрезке .

Пример 19. Разложить в ряд Фурье в указанном интервале функцию:

Решение. Вопрос о четности или нечетности данной функции не рассматриваем, так как она задана на интервале, не симметричном относительно начала координат. Длина указанного интервала (0,4) равна . Определим коэффициенты Фурье для этой функции:

Ряд Фурье данной функции имеет вид:

Полученное разложение справедливо во всей области определения заданной функции, причем в интервале (0,2) сумма ряда а в интервале (2,4) сумма ряда так как во всех точках непрерывности сумма ряда равна исходной функции. В точке разрыва где функция не определена, сумма ряда