Дифференцируемость функций многих переменных

Дифференцируемость функций многих переменных

Функция f называется дифференцируемой в точке , если её полное приращение в этой точке может быть представлено в виде , где A₁,A₂,…,A_m – числа, α₁,α₂,…,α_m – бесконечно малые при функции, равные 0 при .

Достаточное условие дифференцируемости функций.

Если функция f имеет все частные производные в некоторой окрестности точки и все эти частные производные непрерывны в точке , то функция f дифференцируема в точке .

Достаточное условие локального экстремума

Пусть функция f – непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки , . Тогда: 1) если D>0, то функция имеет экстремум в точке , а именно максимум, если A<0 (или C<0), и минимум, если A>0 (или C>0); 2) если D<0, то экстремума в точке нет; 3) если D=0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым.

4. Теорема Больцана-Вейерштрасса.

Из любой ограниченной последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Теорема Кантора (непрерывность функции на компактном множестве)

Пусть - компакт, и функция f непрерывна на Е. Тогда f равномерно непрерывна на E.

Теорема о независимости порядка дифференцирования

Если все частные производные порядка от функции f непрерывны, то в любой смешанной производной можно переставить порядок дифференцирования как угодно, не изменяя результата.

7. Критерий Коши́ сходимости векторных последовательностей

Для того чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Последовательность называется фундаментальной последовательностью, если для любого существует такой номер N>0, что для любых m>N,n>N выполняется d(x_n,X_m)< .

Необходимое условие дифференцируемости функций

Если функция f(x₁,x₂,…,x_m) дифференцируема в , то, а)она непрерывна в этой окрестности. б)Существуют частные производные ; причём .

Необходимое условие локального экстремума

Если функция f достигает в точке локального экстремума и имеет в ней частные производные первого порядка, то . Точка в которой обе частные производные равны 0, называется стационарной.

10. Определение компакта (компактного множества)

Множество называется компактом, если из любого покрытия K открытыми множествами можно извлечь конечное подпокрытие.

Определение частной производной

Если существует предел отношения при , то этот предел называют частной производной функции f в точке по к-ой переменной. Таким образом .

12. Определение функции многих переменных

Если каждой точке множества D ставится в соответствие единственное число у из I, то говорят, что задана функция n переменных у=f(x1, …, xn). Множество D называется областью определения функции D(у)=D, множество I называется множеством значений функции I (у)= I.

Определение первого дифференциала.

Дифференцируемость функций многих переменных

Функция f называется дифференцируемой в точке , если её полное приращение в этой точке может быть представлено в виде , где A₁,A₂,…,A_m – числа, α₁,α₂,…,α_m – бесконечно малые при функции, равные 0 при .