Определение комплексного числа. Действия с комплексными числами, записанными в алгебраической форме. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме.

Определение комплексного числа. Действия с комплексными числами, записанными в алгебраической форме. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме.

Ко́мпле́ксные чи́сла — числа вида , где и — вещественные числа, — мнимая единица; то есть .

Действия над комплексными числами

· Сравнение

означает, что и (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

· Сложение

· Вычитание

· Умножение

· Деление

· В частности,

 

Определение комплексного числа. Действия с комплексными числами, записанными в тригонометрической форме. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме.

Тригонометрической формой комплексного числа является

, где значение аргумента , удовлетворяющее условию

и , –модуль комплексного числа.

 

Здесь k - целое. Чтобы получить n различных значений корня n -ой степени из z необходимо задать n последовательных значений для k (например, k = 0, 1, 2,…, n – 1).

Определение комплексного числа. Действия с комплексными числами, записанными в показательной форме. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в показательной форме.

Формула Эйлера () позволяет представить комплексное число в показательной форме:

Такая форма представления позволяет дать наглядную интерпретацию операциям умножения комплексных чисел, их деления и возведения комплексного числа в степень. Например, умножение комплексного числа на комплексное число сводится к повороту вектора, соответствующего числу , на угол и изменению его длины в раз:

Другими словами, чтобы найти произведение комплексных чисел, нужно перемножить их модули и сложить аргументы.
Аналогично интерпретируется частное от деления комплексного числа на комплексное число :

где и

Для возведения комплексного числа z в целую степень n нужно представить это число в показательной форме, возвести обе части равенства в степень n и записать результат в тригонометрической форме:

Если число в левой части этого равенства представить в тригонометрической форме и сократить общий множитель , то получится формула Муавра:

.

Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа.

Формула Муавра для возведения в целую степень комплексного числа:

Извлечение корня из комплексного числа:

Последовательности комплексных чисел. Критерий Коши.

 

 

Определение функции комплексного переменного. Предел и непрерывность функции комплексного переменного.

Необходимые и досттаточные условия для существования :

 

 

при том, что

 

Непреывной функцию в т. можно назвать при условии, что:

определена в т. и ее окрестности;

Линейная функция.

 

Определение комплексного числа. Действия с комплексными числами, записанными в алгебраической форме. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме.

Ко́мпле́ксные чи́сла — числа вида , где и — вещественные числа, — мнимая единица; то есть .

Действия над комплексными числами

· Сравнение

означает, что и (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

· Сложение

· Вычитание

· Умножение

· Деление

· В частности,