Задачи по теме “Векторная алгебра”.

Задача 1. Дано: точки А(-3 1 2), В(4 –3 2), С(0 –1 3), D(-6 2 1)

Найти: 1) координаты и длину вектора ;

2) направляющие косинусы вектора ;

3) скалярное произведение ;

4) проекцию пр .

5) угол между векторами и ;

6) векторное произведение ´ и его модуль;

7) площадь треугольника АВC;

8) лежат ли точки А,В,С,D в одной плоскости;

9) объем пирамиды АВСD;

Решение. 1) Найдем координаты векторов и :

={4-(-3); -3-2; 2-2}, ={7; –4; 0}, ={-6-0; 2-(-1); 1-3}, ={-6; 3; –2}.

По правилам действий с векторами, получим

2 ={-12; 6; –4} и -2 ={7; –4; 0} - {-12; 6; –4} = {19; –10; 4}.

Теперь находим длину искомого вектора:

ç -2 ç= = .

2) Так как ={7;–4; 0 }, ê ê= = , то направляющие косинусы находятся согласно формулам:

cos = , cosb= , cos =0.

3) (; ) найдем по формуле скалярного произведения векторов, заданных своими координатами. Поскольку ={7; –4; 0 }, ={-6; 3; –2}, то

(; )=7×(-6)+(-4) 3+0×(-2)=-54.

4) На основании формулы проекции, имеем

пр = . Отсюда, пр = .

5) Заметим, что вектора ={7 –4 0 } и ={-6 3 –2} не являются коллинеарными, поскольку не пропорциональны их координаты:

.

Эти вектора не являются также перпендикулярными, так как их скалярное произведение (; ) 0.

Угол = Ð(; ) найдем из формулы:

cos = .
Ранее было найдено ( ) = - 54, , , стало быть,

cos = .

6) По формуле векторного произведения, имеем

= = =8 +14 -3 .
Таким образом, векторное произведение имеет координаты:

={8; 14; –3}, а его модуль = .

7) Применив формулу площади для треугольника ABC, построенного на векторах

, , получаем .
Векторное произведение и его модуль найдем, аналогично решению задачи 6):

= ,

={-4; –7; –2}, = .

Отсюда получаем, что (кв. ед.)

8) Точки A,B,C,D будут лежать в одной плоскости, если три вектора, соединяющие эти точки, являются компланарными. Составим, например, вектора ={7; –4; 0},
={3; –2; 1}, ={-3; 1; –1} и найдем их смешанное произведение:

(; ; )= ,

Поскольку (; ; ) 0, то вектора , , не компланарны, а стало быть, точки A,B,C,D не лежат в одной плоскости.

9) Так как объем пирамиды равен части объема параллелепипеда, построенного на векторах , , вычисляется по формуле

V_{пирамиды}= V_{параллелепипеда} ,

A С то используя решение задачи 8), получим V_пир= (куб.ед.).Ñ

 

Задача 2. Определить при каких вектора и коллинеарны.

Решение. В случае коллинеарности, соответствующие координаты векторов ={-2;3; } и ={ ; -6; 2} должны быть пропорциональны, то есть: .
Отсюда =4 и =-1Ñ

Задача 3. Определить при каком вектора и перпендикулярны.

Решение. Вектора ={3;–2; } и ={1;3;-1} перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Из этого условия получаем: = =0. Стало быть, =-3. Ñ

Задача 4. Вычислить, какую работу производит сила {5 2 1}, когда точка ее приложения перемещается из A(3; 0; 3) в B(-4; 1; 2).

D Образуем вектор перемещения ={-7; 1; -1}.

A B Тогда работа A= = -34. Ñ

Задача 5. Найти , если =1, =3, = .

Решение. В силу свойств скалярного произведения, имеем:

=2 +6 - -3 =2 ²+5 -3 ²=2 ²+5 cos --3 ².

Подставляя теперь в правую часть данные задачи, получим = -17,5.Ñ

Задача 6. Сила {5;–3; -7} приложена в точке В(2;1;1). Определить момент силы относительно точки К(2; 3; 4).

Решение. Образуем вектор ={0 –2 -3}. Тогда момент относительно точки К вычисляется по формуле: =mom_K = .

Имеем,

= , или ={5; –15; 10}.

Задача 7. Найти , если , =1, =3, = .

Решение. Используя свойства векторного произведения, упростим конструкцию вектора , а именно:

=2 - 8 + - 4 .

Так как II , II , то = =0. Следовательно,

= - 8 + = - 9 .

Теперь по формуле модуля векторного произведения, получаем

=I - 9 I=9I I=9 sin =27 sin =13,5.

 

Библиографический список

 

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М., Наука, 2002.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Р., Феникс, 1997.

3. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М., Наука, 1995.

Оглавление

1. Лекция 1. Множества. 3

2. Лекция 2. Элементы математической логики. 8

3. Задачи на тему “Логика” 11

4. Лекция 3. Векторная алгебра. 12

5.Лекция 4. СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ, СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. 20

6. Задачи по теме “Векторная алгебра”. 25