Расстояние между двумя точками

Аналитическая геометрия на плоскости

 

Координаты точки на прямой и на плоскости.

Деление отрезка в данном отношении.

 

■ Деление отрезка в данном отношении. Пусть даны точки и . Координаты точки , делящей отрезок АВ в отношении , определяются по формулам

, .

В частности, координаты середины отрезка (т.е. точки , делящей отрезок АВ в отношении ) находятся по формулам

, .

 

Пример 1. Найти точку , делящую отрезок АВ в отношении , если даны координаты точек и .

Решение. Находим

, .

Ответ: .

 

Пример 2. Найти середину отрезка АВ из Примера 1.

Решение. Находим

, .

Ответ: .

 

 

Примеры уравнений кривых в полярных координатах

 

Уравнения некоторых кривых в полярных координатах выглядят значительно проще, чем в декартовой системе координат. Приведем примеры (для простоты на всех рисунках предполагается, что параметр а положителен).

 

Окружность или   Рис. 8	Кардиоида   Рис. 9
Спираль Архимеда   Рис. 10	Лемниската Бернулли   Рис. 11

 

 

Прямая линия на плоскости. Различные виды уравнения прямой

 

■ Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Если прямая не параллельна оси Оу, то ее уравнение можно записать в виде

.

Это уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; в нем , а b – ордината точки пересечения прямой с осью Оу.

При имеем – уравнение прямой, проходящей через начало координат.

 

 

■ Общее уравнение прямой. Любая прямая на плоскости определяется уравнением первой степени с двумя переменными и обратно: каждое уравнение первой степени

(где А и В не равны нулю одновременно) определяет некоторую прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой. В отличие от уравнения оно может определять всевозможные прямые на плоскости без исключения.

Частные случаи.

а) при прямая проходит через начало координат;

б) при уравнение примет вид – прямая параллельна оси Ох (в частности, – уравнение самой оси Ох);

в) при уравнение примет вид – прямая параллельна оси Оу (в частности, – уравнение самой оси Оу).

Из общего уравнения прямой при можно получить уравнение , т.е. уравнение прямой с угловым коэффициентом .

 

 

2) подставляем в левую часть нормального уравнения прямой координаты , данной точки М.

Тогда искомое расстояние равно абсолютной величине полученного при этом числа h.

 

Замечание. Если , т.е. если прямая не проходит через начало координат, то при точка М и начало координат лежат по одну сторону от данной прямой, а при – по разные стороны (при , очевидно, точка М лежит на прямой).

 

Пример __. Найти расстояние от точки до прямой .

Решение. Нормальное уравнение прямой имеет вид , поэтому .

Ответ: искомое расстояние равно .

 

 

Аналитическая геометрия на плоскости

 

Координаты точки на прямой и на плоскости.

Расстояние между двумя точками

 

■ Числовая ось. Интервалы. Числовой осью называется прямая, на которой заданы: а) некоторая точка О – начало отсчета; б) направление, которое считается положительным; в) единичный отрезок (масштаб).

Каждое действительное число изображается точкой числовой оси (число х изображается точкой А). Устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой.

Число х называется координатой точки А. Расстояние от начала отсчета до точки А равно | х |, расстояние между двумя точками и (т.е. длина отрезка АВ) равно .

 

Пример 1. Для точек А (2), В (-3) имеем: длина отрезка АВ равна , серединой отрезка АВ является точка , т.е. точка .

 

Окрестностью точки числовой оси называется любой интервал, содержащий эту точку. В частности, -окрестность точки – симметричный интервал вида или множество чисел х, удовлетворяющих условию (где – заданное положительное число).

 

 

■ Декартова прямоугольная система координат на плоскости задается фиксированной точкой О (называемой началом координат) и парой пересекающихся в этой точке взаимно перпендикулярных прямых (называемых осями координат). Каждая из этих осей рассматривается как числовая ось с началом отсчета в точке О.

Имеет место взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и парами действительных чисел – координатами точек (см. рис. 1). Координата х называется абсциссой, а координата у – ординатой точки.

 

 

■ Расстояние d между двумя точками плоскости и (т.е. длина отрезка АВ) вычисляется по формуле

.

В частности, расстояние от точки до начала координат равно .

 

 

■ Полярные координаты. Рассмотрим произвольную (фиксированную) точку плоскости О ("полюс") и проведем из нее полупрямую, называемую полярной осью (с определенным масштабом). Зададим направление отсчета углов вокруг точки О против часовой стрелки. Тогда каждой точке М плоскости соответствуют два числа: полярный радиус и полярный угол , где представляет собой расстояние от точки М до полюса О, а – угол, образуемый полярной осью с отрезком ОМ (рис. 2).

Эти числа и называются полярными координатами точки М. При этом полярный радиус определен однозначно, а значение полярного угла определяется с точностью до слагаемого (где n – любое целое число).

 

 

При этом у точки О полярный радиус , а полярный угол не имеет определенного значения (ему можно приписать любое значение).

Чтобы соответствие между точками плоскости (отличными от полюса) и парами полярных координат было взаимно однозначным, иногда ограничивают возможные значения полярного угла ; например, часто берут или .

Декартовы координаты точки (х, у) выражаются через полярные координаты той же точки по формулам

,

(здесь считается, что полюс совпадает с началом координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс). Например, для точки М на рис. 2 значения полярных координат , , значения декартовых координат

, .

 

Для выражения полярных координат через декартовы пользуются формулами

, .

Чтобы найти из нее значение , нужно учитывать, в какой координатной четверти лежит рассматриваемая точка М (x, y).

 

Пример. Найти полярные координаты точки .

Решение. Находим ; . Так как точка М лежит во второй четверти, то угол .

Ответ: .