Упражнение 1. Числовое поле всегда бесконечно.

Упражнение 2. Любое числовое поле всегда содержит Q (множество рациональных чисел).

Пример поля отличного от Q, R и C:

K = {a+b , где a и b }.

Тема 2. Матрицы и определители.

Сложение матриц. Умножение матрицы на число.

 

Пусть К ≠ Æ. Рассмотрим прямоугольную таблицу из n строк и m столбцов, состоящую из элементов К

 

 

(1)

 

a_ij — произвольный элемент таблицы, где i — номер строки, j — номер столбца, a_ij Î К " i,j. Таблицу (1) назовем матрицей размером n x m. Краткая запись (a_ij)_{n x m.} В будущем будем рассматривать (1) над числовыми полями. Матрицы будем обозначать A,B,C, а их элементы соответственно a_ij, b_ij, c_ij.

Определение 1. Две матрицы (a_ij), (b_ij) одинаковых размеров будем называть равными, если a_ij = b_ij " i,j.

Определение 2. Матрица называется квадратной, если m=n.

Определение 3. Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны 0.

Пример:

 

Определение 4. Диагональная матрица, все элементы которой равны между собой, называется скалярной матрицей.

Скалярная матрица, у которой элемент, стоящий на диагонали равен 1, называется единичной.

Пример:

 

Сложение матриц и их свойства.

Пусть n и m — фиксированные натуральные числа. Рассмотрим множество матриц над некоторым числовым полем Р размером n x m, обозначим его Р_{n x m}.

Определение 5. Возьмем две матрицы A, BÎ Р_{n x m.} Под суммой матриц A и B (обозначают А+В) понимают матрицу С Î Р_{n x m} такую, что c_ij =a_ij + b_ij. для всех i=1,…,n; j=1,…,m.,т.е. чтобы сложить две матрицы, надо сложить элементы, стоящие на одинаковых местах.

Свойство 1. Сложение матриц ассоциативно, т.е. (А+В)+С = А + (В+С) и коммутативно, т.е. А+В=В+А, .

¢ Доказательство следует из соответствующих свойств для чисел. £

Свойство 2. Если нулевую матрицу прибавить к произвольной матрице тех же размеров, то последняя не изменится.

Свойство 3. Для любой матрицы A Î Р_{n x m} $ B Î Р_{n x m} такая, что А+В=0. Такая матрица В называется противоположной к матрице А.

 

Умножение матрицы на число и его свойства.

Определение 6. Пусть А Î Р_{n x m}, a Î Р — произвольный элемент поля Р. Под произведением aА понимают матрицу В тех же размеров такую, что b_ij = a a_ij.

Свойство 1. 1А = А .

Свойство 2. (a+b) А = aА + bА. (Умножение матрицы на число дистрибутивно относительно сложения чисел) .

Свойство 3. a (А + В) = aА + aВ. (Умножение числа на сумму матриц дистрибутивно относительно сложения матриц) .

Свойство 4. (ab) А = a (bА) .

¢ Доказательство проводится сравнением элементов матриц левой и правой частей равенства. Например, рассмотрим свойство 2. Известно, что (a+b)a_ij = a a_ij + b a_ij, где a_ij — произвольный элемент матрицы А,(дистрибутивность умножения относительно сложения элементов поля). £

 

Умножение матриц.

Мы никак не мотивировали операцию сложения матриц, но едва ли это вызвало недоумение в силу своей естественности. Операция умножения матриц уже не обладает этим качеством.

Пусть A = (a_ij)_{m x n}, B = (b_ij)_{n x p}. Под произведением АВ понимают

матрицу С с элементами c_ij =.

 

АВ:= С= (с_ij)_{m x p}.

 

Например, А = и В =.

 

 

Тогда AВ =

 

 

5=1 · 0 + 2 · 1 + 3 · 1

6=1 · 1 + 2 · 1 + 3 · 1

7= 1 · 4 + 2 · 0 + 3 · 1 и т.д.

 

Берется i-тая строка матрицы А и j-тый столбец матрицы В, перемножаются покомпонентно и результаты складываются. Это есть элемент матрицы С на позиции i,j.

Свойство. Произведение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА, в том числе и квадратных.

 

Пример (доказывающий свойство):

=

 

=

 

Замечание 1. Запись A = (a_ij)_{m x n} обозначает, что матрица А имеет размеры

m x n.

Замечание 2. В двойной сумме результат суммирования не зависит от порядка суммирования, т.е.

, ибо левая часть равенства и правая часть есть сумма элементов матрицы .