Момент импульса м.т. и а.т.т. относительно оси вращения

 

Моментом импульса м.т. массы m, движущейся со скоростью относительно оси вращения, называют вектор , определяемый по формуле

, , (1.38)

где - импульс м.т.; - вектор, соединяющий м.т. с осью вращения и перпендикулярный к этой оси (рис.1.14,а). Направлен вектор по оси вращения.

Запишем модуль момента импульса в другом виде

, (1.39)

где введена величина I, называемая моментом инерции м.т. относительно оси вращения

. (1.40)

Для а.т.т. объема V, представляющего собой совокупность м.т. массы dm,

Рис.1.14

 

модуль момента импульса относительно оси вращения запишется так

 

,

где величина

. (1.41)

представляет собой момент инерции а.т.т. относительно оси вращения. В случае однородного симметричного относительно оси вращения тела (это такое тело, которое при любом повороте вокруг оси вращения совмещается само с собой) направления векторов и совпадают (рис.1.14,б) и поэтому

. (1.42)

Для произвольного а.т.т. момент импульса определится формулой

, (1.43)

из которой следует, что в общем случае вектора и не параллельны и поэтому вектор не будет направлен вдоль оси вращения.

 

1.3.2. Момент силы относительно оси вращения. Основной закон динамики вращательного движения

Пусть к материальной точке массы m приложена сила ; ее составляющая в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, обозначена как . Тогда моментом силы относительно оси вращения называют вектор, определяемый формулой

, , , (1.44)

где - это вектор, проведенный от оси вращения к м.т. (рис.1.15, ось вращения проходит через точку О перпендикулярно к вектору ); d = rsin α - плечо силы – кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения; вектор направлен вдоль оси вращения.

Рис.1.15

Запишем другое выражение для модуля вектора , используя проекцию силы на направление касательной к окружности (она обозначена , см. рис 1.15); именно и вызывает вращательное движение м.т.

_.(1.45)

Для абсолютно твердого тела, представляющего собой совокупность м.т. массы dm, помимо векторной суммы моментов внешних сил , действующих на него, между м.т. этого тела действуют также и внутренние силы. Причем, векторная сумма моментов внутренних сил относительно оси вращения согласно третьему закону Ньютона равна нулю, и поэтому

;

.

В итоге можно записать основной закон динамики вращательного движения для а.т.т. который формулируется следующим образом: произведение момента инерции тела относительно оси вращения на вектор углового ускорения равно векторной сумме момента действующих на тело внешних сил относительно этой оси вращения.

, (1.46)

.

Основной закон динамики вращательного движения (1.46) можно записать в другом виде

,

. (1.47)

Согласно (1.47) производная по времени от вектора момента импульса тела относительно оси вращения равна векторной сумме моментов, действующих на а.т.т. внешних сил относительно этой оси вращения.

Напомним, что момент инерции для а.т.т. не может быть изменен внутренними силами системы (I = const), чего нельзя сказать для системы, состоящей из нескольких а.т.т. (возникающие при этом эффекты будут рассмотрены дальше),

Уравнения (1.46) и (1.47) позволяют при задании начальных условий () и действующих на а.т.т. моментов внешних сил относительно оси вращения решать задачи динамики вращательного движения а.т.т.

Отметим, что в общем случае тело может совершать вращательное движение относительно неподвижной точки (ось вращения, проходящая через эту точку, может менять свое направление в пространстве). Описание такого движения является более сложным, оно требует введения понятий момента импульса и момента силы относительно этой точки и поэтому здесь не рассматриваются.