Энергия движения системы как целого.

Рассмотрим систему из n материальных точек. Общая работа dA, совершаемая всеми силами, приложенными к системе за время dt, будет

dA= сумма [Fi * dr итое]. Покажем, что суммарная работа, совершаемая всеми другими силами системы равна 0. Возьмем 2 точки системы – i и k.

(рисунок – прямая, на концах стрелки – слева Fik, справа Fki; на ней 2 точки i и k; соединенены вектором r ik; другая точка, от нее радиус-векторы r i и r k). Согласно 3мц закону Ньютона Fik = - Fki.

dAik = Fik*dri + Fki*drk = Fik*dri – Fik*drk = Fik (dri - drk); dri – drk = drik.

[i, k – это индексы!!!]. Т.к. тело абсолютно твердое, то Fik*drik = const (т.к. для абсолютно твердого тела расстояние между любыми 2мя его точками остается в процессе движения неизменным). drik – т.к. |rik|= const, то вектор rik может менять только свое направление, следовательно изменение этого вектора будет направлено перпендикулярно вектору drik. Сила Fik перпендикулярна перемещению drik, следовательно такая сила работы не совершает – dAik = Fik*drik = 0, т.е. внутренние силы работы не совершают.

dA = сумма Fi*dri (где F – внешняя сила).

Если тело движется поступательно, то dri = drc; dA= сумма Fi * drc = drc * сумма Fi = F *drc; Получаем dA= F * drc; Работа всех сил, приложенных к системе материальн ых точек равна работе внешних сил по перемещению центромасс этой системы. Wk = сумма mi * vi(ст.2) / 2 = mvc(ст.2) / 2.

[Где c, k, i – индексы!!!]

Консервативные силы – действующие силы при перемещении тела из одного положения в другое не зависит от формы траектории движения, а зависит от начального и конечного положения тела. Для консервативной или потенциальной силы работа по перемещению тела по замкнутой траектории равна нулю.

Неконсервативные силы – действующие силы при перемещении тела из одного положения в другое зависит от формы траектории движения.

A = (интеграл с кружком в центре) Fdt=0 – условие потенциальной силы.

В противном случае сила называется диссипативной. Диссипативная сила зависит от скорости точек и совершает отрицательную работу.

Мощность – численно равна работе, совершенная за единицу времени

N = dA / dt – мгновенная мощность.

Энергия движения тела как целого. Пусть в системе материальных точек Fитое (вектор) – сумма всех сил приложенных к системе i-матер. Точке; изменение R вектора этой точки – dr (вектор); работа, совершаемая силами над всеми материальными точками будет равна dA=(знак суммы от i до n)Fidr; Работа производимая внутренними силами будет dAki+dAik; dAik=Fikdrik т.к. тело абсолютно твердое, то расстояние между двумя точками в процессе движения не изменится, т.е. rik=const. Тогда работа всех других внутренних сил равна 0. Если тело движется поступательно, то dA=(знак суммы от i до n)Fidr=dri(знак суммы от i до n)Fi=

=droFвнеш; A= Fвнеш(интеграл)dro=mv(ст.2)/2=Wк. Таким образом кинетическая энергия поступательного движения тела можно рассчитать как кинетическую энергию материальной точки, у которой m=mтела, V=Vцентромасс

Потенциальная энергия – механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Работа, совершаемая потенциальными силами при изменении конфигурации системы, т.е. расположении ее частей относительно системы отсчета не зависит от пути перехода из начального состояния в конечное. Эта работа A1-2 определяется только начальной и конечной конфигурацией систем, следовательно ее можно представить в виде разности значений некоторой функции конфигурации системы, называемой потенциальной энергией Wп. A1-2= Wп (1) – Wп (2);

dA= - dWп. В каждой конкретной задаче для получения однозначной энергетической зависимости каждой потенциальной рассматриваемой системы от ее конфигурации, выбирают нулевую конфигурацию, в которой потенциальная энергия системы считается равной нулю.

Потенциальной энергией механической системы называется величина, равная работе, которую совершают все действующие на систему потенциальные силы, при переводе системы из данного состояния в нулевое. dA= Fdr = Fx dx + Fy dy + Fz dz; dA = - dWп;

dWп = д Wп*dx / д х + д Wп*dy / д y + д Wп*dz / д z

dA = Fdr = Fxdx + Fydy + Fzdz = - д Wп*dx / д х - д Wп*dy / д y - д Wп*dz / д z

F = i * Fx + j * Fy + k * Fz = - (i * д Wп / д х + j * д Wп / д y + k * д Wп / д z) = - gradWп

Потенциальная энергия материальной точки в однородном поле. Силовое поле однородно, если сила F одинакова во всех точках поля. Рассмотрим однородный случай. Пусть сила F, приложенная к материальной точке действует вдоль оси Z; dWп = - dA = Fz dz; Wп = (интеграл z0 – z1) Fz dz = - Fz (z1 – z0) = -Fz * z; Например тело в поле силы тяжести: F= mg; z = h; Wп= mgh

Закон сохранения энергии – энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного типа в другой.

Все законы сохранения связаны с определенными свойствами симметрии пространства и времени. Закон сохранения импульса связан с однородностью пространства, т.е. вид физических знаков не изменяется при параллельном переносе в пространстве системы отсчета. Закон сохранения энергии связан с однородностью времени, т.е. выбор начала отсчета времени не изменяет физических законов или физические законы инвариантны относительно выбора начала отсчета времени.

Полной энергией называется сумма кинетической и потенциальной энергий. Механическая система называется консервативной, если все приложенные к ней непотенциальные силы не совершают работу, а все потенциальные силы постоянны во времени. Потенциальная энергия системы может изменяться только за счет изменения ее консервации, поэтому если конфигурация системы не меняется, то Wп = const à

д Wп / dt = 0. Рассмотрим консервативную систему, на которую действует внутренняя и внешняя консервативные силы и внешние диссепативные силы. Пусть вектор Fi – это внешняя консервативная сила, приложенная к внешней точке. Вектор Fi’ – внутренняя консервативная сила. Вектор f i – внешняя диссепативная сила. Запишем 2ой закон Ньютона для i-той точки материальн ой системы: m i * dv i / dt = Fi + Fi’ + f i; dr = v i * dt;

mi vi dt * dv / dt = (Fi’ + Fi) dvi + fi dri; d (mi vi [ст.2] / 2) = (Fi’+Fi)dri+fidri

Для всей системы будет тоже самое, но ставится знак суммы перед каждым слагаемым. Отсюда следует dWk + dWп = dA; d(Wk + Wп) = dA;

A1-2 = (интеграл 1-2) d(Wk + Wп); A1-2 = (Wk + Wп)2 = - (Wk - Wп)1.

Если внешние силы не совершают работу, то dA=0; d (Wk + Wп) = 0;

т.е. полная энергия системы остается постоянной Wk + Wп = const

Твердое тело в механике

Условие равновесия твердого тела. Всякое движение твердого тела можно представить как сумму поступательного и вращательного движения. Отсюда вытекает 2 условия равновесия твердого тела: 1) F1+…+Fn = 0 – тело не движется поступательно; 2) M1 +… Mk= 0 – тело не вращается.