Частные производные первого порядка ФНП

Z=(xy), функция где есть Х и У, нужно взять производную по Х, и производную по У т.е. и .

НЕЯВНО ЗАДАННЫЕ ФНП:

Находится Y_x’ = = , находится отношение производной по Х и производной по У.

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА ФНП

Частные производные от производных первого порядка функции наз. частными производными второго порядка. Они обозначаются:

и и

Дифференциалы I и II порядка:

Функция называется дифференцируемой, если ее приращение может быть представлено в виде суммы линейной функции от приращений аргументов . Главная часть приращения дифференцируемой функции называется полным дифференциалом функции z(dx = )

Выражения называют частными дифференциалами.

Для второго порядка:

Для трех переменных:

КАСАТЕЛЬНАЯ И НОРМАЛЬ

Касательная -

Нормаль -

 

ЭКСТРЕМУМ ФНП

1) находим частные производные от функции

2) Составляем систему уравнения

Выделяем Х и У, х=… и у=…

Подставляем х и у в систему находим соответствующие точки (х₁;у₁) и (х₂;у₂) т.е. М₁(х₁;у₁) и М₂(х₂;у₂)

3) Вычислим вторую производную

4) Рассматриваем точки М₁(х₁;у₁) и М₂(х₂;у₂) …..

Подставляя значения точек М_n(х_n;у_n) во II производную

5) Составляем матрицу А со значениями второй производной:

s w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>"> затем находим

 

ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ

Z=x³-3x³y+3xy²+1 и точки M(3;1) и М₁(6;5)

1) Находим l=(вектор)MM₁={3;4}

2) Находим длину | l |

3) l₀={ } где, x=cosα, y=cosβ

4) Находим первые производные и подставляем в место х и у значения точки M₀

5) И все найденное подставляем в формулу:

 

Нахождение ДИФФЕРЕНЦИАЛА.

1. Сначала находим производную

2. Затем придел производной

3. Потом и сам дифференциал

ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ 3х ПЕРЕМЕННЫХ

Где формула приращения

Третья частная производная (f’’’) для 2х переменных:

Где:

Вторая частная производная (f’’) для 2х переменных:

Эквивалентность Б.М и Б.Б.

Чтобы сравнить две бесконечно малые величины, нужно найти предел их отношений. И по таблице эквивалентности.

Производные первого порядка для неявно заданной функции:

Остаточный член форма Пеано

где M(). Для формулы Тейлора

Непрерывность и диф-сть ФНП

Непрерывность:

Диф-ть: ( зададим приращение )

Вычисление приближённо

Вычислим приближённо с помощью дифференциала

Производные высших порядков заданных параметрически

То производные последовательно могут быть вычислены по формулам:

и д.т.

Экстремумы трех переменных

1. Находим первые производные

2. Составляем систему уравнения

Выделяем

Подставляем х и у в систему находим соответствующие точки (х₁;у₁) и (х₂;у₂) т.е. М₁(х₁;у₁) и М₂(х₂;у₂)

3. Находим все вторые частные производные