Вычисление определенных интегралов

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Постановка задачи, общая характеристика методов

Методы прямоугольников

Данные методы относятся к простейшим из класса методов Ньютона-Котеса. В них подынтегральная функция f (x) на каждом интервале разбиения заменяется полиномом нулевой степени, т.е. константой. Такая замена является неоднозначной, т.к. константу можно выбрать равной значению f (x) в любой точке данного интервала разбиения.

В любом случае значение частичного интеграла определяется как произведение длины интервала разбиения на выбранную константу, т.е. как площадь прямоугольника. В зависимости от способа выбора аппроксимирующей константы различают методы левых, средних или правых прямоугольников (рис.6.4).

 

Левые

Средние

Правые

Рис.6.4. Геометрическая интерпретация методов прямоугольников

 

Введем следующие обозначения: точку a на оси OX обозначим через x ₀, точку b - через x _n, а точки разбиения промежутка [ a,b ] - через x ₁, x ₂,..., x _n-1. Предполагается, что длина интервала разбиения постоянна на всем [ a,b ]. Обозначим ее через h:

; x _i = x _i-1 + h, i =1,2,..., N.

Тогда в методе левых прямоугольников площадь каждого i -го прямоугольника

S i = h f (x i), i = 0,1,2,..., n -1,

(6.2)

а для всего промежутка [ a,b ]:

Метод трапеций

В этом методе подынтегральная функция f (x) на интервале [ x _i, x _i+1] заменяется полиномом первой степени, т.е. наклонной прямой линией. Обычно эта прямая проводится через значения f (x) на границах интервала (рис.6.6). В этом случае приближенное значение частичного интеграла определяется площадью трапеции:

Рис.6.6. Геометрическая интерпретация метода трапеций

, т.е. , а численное значение интеграла на всем [ a,b ] . Это вычислительная формула метода трапеций.

(6.12)     (6.13)

Блок-схему алгоритма метода трапеций предлагается студентам разработать самим.

Оценим погрешность R _i. Для этого разложим функцию f (x) в ряд Тейлора около точки x _i:

(6.14)

Тогда

(6.15)

С помощью разложения (6.14) вычислим подынтегральную функцию в точке x _i+ h:

откуда

(6.16)

Подставляя произведение (6.16) в выражение (6.15), получим

(6.17)

Сравнивая (6.12) и (6.17), получаем выражение для главного члена погрешности частичного интеграла

.

Тогда главный член полной погрешности метода трапеций имеет вид

,

(6.18)

т.е. метод трапеций имеет также второй порядок, но его погрешность в два раза больше, чем в методе средних прямоугольников, поэтому, если подынтегральная функция задана аналитически, то предпочтительнее из методов второго порядка использовать метод средних прямоугольников.

М е т о д С и м п с о н а

В этом методе подынтегральная функция заменяется интерполяционным полиномом второй степени - т.е. параболой, проходящей через точки , , , где i = 0,1,2,..., n -2; , т.е.

(6.20)

Поэтому данный метод еще называют методом парабол.

Для записи полинома воспользуемся интерполяционной формулой Ньютона (см. раздел 5.Аппроксимация зависимостей) для трех узлов (на примере i =0, i +1=1, i +2=2):

(6.21)

где f ₀₁, f ₀₁₂ - разделенные разности:

;

(6.22)

h - шаг разбиения промежутка интегрирования.

Введем новую переменную z = x - x ₀. Тогда x = z + x ₀ и полином (6.21) принимает вид:

.

(6.23)

Интеграл от полинома (6.23) с учетом (6.22) имеет вид:

(6.24)

Соотношение (6.24) называют квадратурной формулой Симпсона.

Для всего промежутка интегрирования [ a,b ] при четном значении n количества интервалов его разбиения эта формула имеет вид:

(6.25)

Для удобства программирования эту формулу можно записать так:

,

причем суммирование идет по нечетным значениям i и по четным значениям j.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ