Предельный признак сравнения

Пусть и ряды с положительными членами и существует конечный предел отношения их обоих членов.

=μ≠0

Тогда ряда одновременно сходятся или расходятся.

Пример:

Для числовых рядов и рядов предел отношения общих членов равен =1≠0

Поскольку первый ряд как обобщенный гармонический сходится, то по предельному признаку сравнения сходится и второй ряд.

Интегральный признак сходимости

Пусть все члены числового ряда и не возрастают а₁≥а₂≥…≥a_n≥…

Пусть существует непрерывно возрастающая функция у=f(x), опр. При всех x≥1, такая что f(1)=a₁; f(2)=a₂… f(a_n)=a_n, тогда для сходимости числового ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интервал dx

Пример:

Для α>1 члены обобщенного гармонического ряда «+» и не возрастают.

Рассмотрим функцию f(x)= . Для х≥1эта функция непрерывна и не возрастает, кроме того f(n)= , т.е для нее выполнены все интегрального признака сходимости.

Несобственный интеграл является сходящимся при а>1

Действительно, по определению сходимости несобственного интеграла имеем:

= = * = =0+ <∞

Поэтому обобщенный гармоничный ряд

при α>1, является сходящимся

 

4. Знакопеременные ряды. Достаточный признак сходимости знакопеременного абсолютно сходящегося ряда. Абсолютно сходящиеся ряды. Условно сходящиеся ряды.

Обобщенный геометрический ряд

при а>1 является сходящимся

а≤1 ряд расходящийся

Признаки Коши:

Пусть для числового ряда с положительными членами существует =λ

Тогда:

А) если λ<1, то ряд сходится

Б) если λ>1, то ряд расходится

Пример:

Для числового ряда с положительными членами

Найдем предел

= = = <1

Знакопеременные ряды:

Знакопеременным называется числовой ряд , содержащий бесконечно много положительных слагаемых и бесконечно много отрицательных слагаемых.

Числовой ряд является знакопеременным.

Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.

Знакопеременный ряд сходится, если сходится ряд, составленный из модулей его членов.

(A₁) ₊ (A₂) +…+(A_n)= () – это модуль

Абсолютно сходящимся называется знакопеременный ряд , для которого ряд, составленный из модулей его членов, , является сходящимся.

Условно сходящимся, называется сходящийся знакопеременный ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Пример:

Знакопеременный ряд является абсолютно сходящимся, так как ряд сходится.

Знакочередующий ряды:

Знакочередующимся называется числовой ряд

А₁-а₂+а₃-…(-1)ⁿ⁺¹an= an

Где an>0 для всех n∈N

5. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Признак Лейбница.

Знакочередующий ряд an сходится, если a₁>a₂>…>an>

Пример:

Знакочередующий ряд

1- удволетворяет условиям признака Лейбница, поэтому он сходится. Однако ряд из модуля его членов 1- является гармоническим и расходящимся. Таким образом исходный ряд является сходящимся.

Тема 2. Степенные ряды

6. Степенные ряды. Интервал, радиус сходимости.

Степенным рядом называется ряд вида

C₀+C₁X+C₂X²+C_nXⁿ+…= , где c_n – некоторые числа, Х-переменная. Коэффициентом степенного ряда называется числа С₀,С₁,…_,С_n,…

Пример:

1+х+х²+…+хⁿ+…= степенной ряд, все его коэффициенты равны 1. При каждом конкретном значении переменной степенной ряд становится числовым рядом, к которому применены все понятия и результаты, в частности, понятия абсолютной сходимости. Областью сходимости степенного ряда называется множества всех значений переменной х, при которых соответствующий числовой ряд сходится.

Степенной ряд в предыдущим примере является бесконечной суммой членов геометрической прогрессии со знаменателям Х. его частная сумма S_n=s w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> Эта сумма имеет конечный предел при <1. Поэтому область сходимости исходного ряда является интервал (-1;1)

 

7. Свойства степенных рядов.

Теорема Абеля

a) Если степенной ряд сходится при некотором значении х=х₀≠0, то он сходится абсолютно при всех значениях <

b) Если степенной ряд расходится при х=х₁, то он расходится при всех значениях х, таких что >

Из теоремы Абеля следует, что существует такоe число R≥0, что при <R сходится, а при >R ряд расходится. Вопрос о сходимости ряда при х=±R требует дополнительных исследований. Радиусом сходимости степенного ряда называется такое число R≥0, что ряд сходится при <R и расходится при >R. Радиусом сходимости степенного ряда, при С_n≠≠0 находится по формуле

8. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.