Линейные операции над матрицами. Умножение матриц.

БИЛЕТ № 1.

Записать каноническое уравнение прямой, проходящей через точки А (2;-5) и В (4;7). Лежит ли точка С (0;17) на прямой АВ? Ответ обосновать.

 

Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки – А и В:

Проверка точка С:

Точка С не лежит на прямой АВ.

4. Вычислить интеграл .

 

БИЛЕТ № 2.

Вычисление определителей второго, третьего и n-го порядка.

Определитель второго порядка:

Определитель третьего порядка:

Определитель n-го порядка:

где M_1j — определитель квадратной матрицы, полученной из матрицы A вычеркиванием

первой строки и j-го столбца.

 

Вектор-функция. Интегрирование. Натуральный параметр.

 

Пусть каждому значению поставлен в соответствие вектор трехмерного пространства. В этом случае говорят, что на множестве D задана векторная функция.

Если в пространстве задана декартова система координат, то задание вектор-функции означает задание скалярных функций x (t), y (t), z (t). Если – единичные векторы координатных осей, то .

Для вектор-функции , заданной на отрезке можно составить интегральные суммы и рассмотреть их предел при стремлении к нулю максимальной длины отрезков, на которые разбит отрезок [a;b]. Этот предел будет называться интегралом от по отрезку [a;b] и обозначаться . Этот предел существует только если непрерывна на отрезке [a;b]. На интегралы от вектор-функций распространяются обычные свойства интегралов от скалярных функций.

Вектор-функции широко используются в физике. Так, скорость , ускорение , сила напряженности электрического и магнитного полей и плотность тока являются векторными функциями координат.

 

Найти косинус угла при вершине С в треугольнике АВС, если известны координаты вершин треугольника: А (-1;0;4), В (0;-1;3) и С (1;0;4).

 

Угол АСВ – это угол между векторами и .

(-1-1;0-0;4-4) = (-2;0;0)

(0-1;-1-0;3-4) = (-1;-1;-1)

 

4. Вычислить интеграл .

 

 

БИЛЕТ № 3.

Обратная матрица. Формула для нахождения обратной матрицы.

Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:

XA = AX = E,

где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратнойк матрице А и обозначается А^-1.

Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.

Общий подход к нахождению обратной матрицы.

Исходя из определения произведения матриц, можно записать:

AX = E Þ , i=(1,n), j=(1,n),

e_ij = 0, i ¹ j,

e_ij = 1, i = j.

Таким образом, получаем систему уравнений:

,

Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.

Но такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу:

где М_ji – дополнительный минор элемента а_ji матрицы А.

 

Лежат ли точки А (-1;2;-1), В (0;-1;0) и Д (1;-8;7) на одной прямой? Ответ обосновать. Найти длину отрезка АД.

 

Составим уравнение прямой АД:

Проверим точку В:

Значит точки А, В и Д не лежат на одной прямой.

Длина отрезка АД:

 

4. Вычислить интеграл

 

 

БИЛЕТ № 4.

Формулы Крамера.

 

Система из n уравнений с n неизвестными

в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

x_i = D_i/D, где

D = det A, а D_i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов b_i.

 

БИЛЕТ № 5.

Метод Гаусса.

 

Метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

Разделим обе части 1–го уравнения на a₁₁ ¹ 0, затем:

1) умножим на а₂₁ и вычтем из второго уравнения

2) умножим на а₃₁ и вычтем из третьего уравнения и т.д.

Получим:

,

где d_1j = a_1j/a₁₁, j = 2, 3, …, n+1.

d_ij = a_ij – a_i1d_1j i = 2, 3, …, n; j = 2, 3, …, n+1.

Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.

 

БИЛЕТ № 6.

БИЛЕТ № 7.

БИЛЕТ № 8.

БИЛЕТ № 9.

1. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов в пространстве R² и R³.

Система векторов называется линейно зависимой, если существуют числа , не равные нулю одновременно, такие, что .

Если последнее равенство выполняется только при , система векторов называется линейно независимой.

В пространстве Rⁿ любая система, содержащая более чем n векторов, линейно зависима.

Линейную зависимость системы векторов из Rⁿ можно установить следующим образом. Сравнивая координаты векторов из левой и правой части векторного равенства , получим однородную систему уравнений. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда получившаяся однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение.

 

БИЛЕТ № 10.

Базис. Координаты вектора.

 

Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы, взятые в определенном порядке.

Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор.

Если - базис в пространстве и , то числа a, b и g - называются компонентами или координатами вектора в этом базисе.

В связи с этим можно записать следующие свойства:

- равные векторы имеют одинаковые координаты,

- при умножении вектора на число его компоненты тоже умножаются на это число,

= .

- при сложении векторов складываются их соответствующие компоненты.

; ; + = .

 

БИЛЕТ № 11.

1. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

 

Пусть в -мерном линейном пространстве выбран базис , и другой, новый, базис . Возьмем произвольный вектор из пространства . Его координатный столбец в старом базисе обозначим , а в новом -- .

Запишем разложения новых базисных векторов по старому базису:

Составим матрицу, столбцами которой служат координатные столбцы векторов нового базиса

Эта матрица называется матрицей перехода от старого базиса к новому.

Координатные столбцы в старом базисе и в новом базисе связаны формулой где справа стоит произведение матрицы перехода на матрицу-столбец.

Доказательство. Так как - координатный столбец вектора в новом базисе, то . Заменив векторы их разложениями по старому базису, получим: .

Изменим порядок суммирования Здесь мы получили разложение вектора по старому базису, причем координата вектора с номером равна . Элемент с номером столбца будет иметь такой же вид. Следовательно, формула доказана.

 

БИЛЕТ № 12.

БИЛЕТ № 13.

БИЛЕТ № 14.

БИЛЕТ № 15.

БИЛЕТ № 16.

Определение производной. Таблица производных.

Пусть функция y = f(x) определена в промежутке X. Производной функции y = f(x) в точке х_o называется предел = .

Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке x_o; при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке.

Если же рассматриваемый предел равен ∞ (или -∞), то при условии, что функция в точке х_o непрерывна, будем говорить, что функция f(x) имеет в точке х_o бесконечную производную.

Производная обозначается символами y ^', f ^' (x_o), , .

Нахождение производной называется дифференцированием функции. Геометрический смысл производной состоит в том, что производная есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в данной точке х_o; физический смысл - в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость движущейся точки при прямолинейном движении s = s(t) в момент t₀.

Таблица производных:

1. (u^m)' = m u^m-1 u' (m принадлежит R¹ )

2. (a^u)' = a^u lna× u'.

3. (e^u)' = e^u u'.

4. (log_a u)' = u'/(u ln a).

5. (ln u)' = u'/u.

6. (sin u)' = cos u× u'.

7. (cos u)' = - sin u× u'.

8. (tg u)' = 1/ cos²u× u'.

9. (ctg u)' = - u' / sin²u.

10. (arcsin u)' = u' / .

11. (arccos u)' = - u' / .

12. (arctg u)' = u'/(1 + u²).

13. (arcctg u)' = - u'/(1 + u²).

3. Привести уравнение к каноническому виду, определить вид кривой и построить её.

 

Вид кривой – гипербола.

y

 

3+

 

-15/2 3/2

-3 0 x

 

3

 

 

4. Зависимость у от х задана параметрически . Найти .

 

 

БИЛЕТ № 17.

БИЛЕТ № 18.

Теорема Ролля.

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (а, b) и значения функции на концах отрезка равны f(a) = f(b), то на интервале (а, b) существует точка e, a < e < b, в которой производная функция f(x) равная нулю,

f¢(e) = 0.

Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что при выполнении условий теоремы на интервале (a, b) существует точка e такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна оси Ох. Таких точек на интервале может быть и несколько, но теорема утверждает существование по крайней мере одной такой точки.

Доказательство. По свойству функций, непрерывных на отрезке функция f(x) на отрезке [a, b] принимает наибольшее и наименьшее значения. Обозначим эти значения М и m соответственно. Возможны два различных случая М = m и M ¹ m.

1. Пусть M = m. Тогда функция f(x) на отрезке [a, b] сохраняет постоянное значение и в любой точке интервала ее производная равна нулю. В этом случае за e можно принять любую точку интервала.

2. Пусть М = m. Так значения на концах отрезка равны, то хотя бы одно из значений М или m функция принимает внутри отрезка [a, b]. Обозначим e, a < e < b точку, в которой f(e) = M. Так как М- наибольшее значение функции, то для любого Dх (будем считать, что точка e + Dх находится внутри рассматриваемого интервала) верно неравенство:

Df(e) = f(e + Dx) – f(e) £ 0

При этом

Но так как по условию производная в точке e существует, то существует и предел .

Т.к. и , то можно сделать вывод:

Теорема доказана.

Теорема Ролля имеет несколько следствий:

1) Если функция f(x) на отрезке [a, b] удовлетворяет теореме Ролля, причем

f(a) = f(b) = 0, то существует по крайней мере одна точка e, a < e < b, такая, что f¢(e) = 0. Т.е. между двумя нулями функции найдется хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

2) Если на рассматриваемом интервале (а, b) функция f(x) имеет производную (n-1)- го порядка и n раз обращается в нуль, то существует по крайней мере одна точка интервала, в котором производная (n – 1) – го порядка равна нулю.

 

3. Вычислить координаты вектора , перпендикулярного вектору , если .

 

Воспользуемся формулой скалярного произведения векторов:

Так как векторы перпендикулярны, то . Получим систему уравнений:

 

4. Вычислить .

 

БИЛЕТ № 19.

Теорема Коши.

 

Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b) и g¢(x) ¹ 0 на интервале (a, b), то существует по крайней мере одна точка e, a < e < b, такая, что

.

Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению производных в точке e.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

,

которая на интервале [a, b] удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Легко видеть, что при х = а и х = b F(a) = F(b) = 0. Тогда по теореме Ролля существует такая точка e,

a < e < b, такая, что F¢(e) = 0.

Т.к. , то

А т.к. , то . Теорема доказана.

 

3. Построить геометрическое место точек плоскости хОу, задаваемое уравнением .

 

Приведём уравнение кривой к каноническому виду:

Уравнение сопряжённой гиперболы.

 

y

 

 

 

-2 0 x

 

 

4. Провести исследование и построить график функции .

Функция чётная, симметрична относительно Ох.

y’ - + - +

y 0 x

y’’ + - +

y -1 1 x

y

 

 

-1 0 1 x

 

 

-5

 

 

-9

 

БИЛЕТ № 20.

Теорема Лагранжа.

 

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b), то на этом интервале найдется по крайней мере одна точка e, a < e < b, такая, что .

 

Это означает, что если на некотором промежутке выполняются условия теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке равно значению производной в некоторой промежуточной точке.

Отношение равно угловому коэффициенту секущей АВ.

у

 

В

 

 

А

 

0 а e b x

Если функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы, то на интервале (а, b) существует точка e такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна секущей, соединяющей точки А и В. Таких точек может быть и несколько, но одна существует точно.

Доказательство. Рассмотрим некоторую вспомогательную функцию

F(x) = f(x) – y_{сек АВ}

Уравнение секущей АВ можно записать в виде:

Функция F(x) удовлетворяет теореме Ролля. Действительно, она непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b). По теореме Ролля существует хотя бы одна точка e, a < e < b, такая что F¢(e) = 0.

Т.к. , то , следовательно

Теорема доказана.

 

3. Вычислить интеграл .

 

 

4. Вычислить .

БИЛЕТ № 21.

БИЛЕТ № 22.

1. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду (без поворотов).

 

Кривая второго порядка может быть задана уравнением

Ах² + 2Вху + Су² + 2Dx + 2Ey + F = 0.

1. Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.

2. - уравнение эллипса.

3. - уравнение “мнимого” эллипса.

4. - уравнение гиперболы.

5. a²x² – c²y² = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.

6. y² = 2px – уравнение параболы.

7. y² – a² = 0 – уравнение двух параллельных прямых.

8. y² + a² = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.

9. y² = 0 – пара совпадающих прямых.

10. (x – a)² + (y – b)² = R² – уравнение окружности.

 

Билет № 23.

Правило Лопиталя.

 

Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g¢(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х®а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.

Доказательство. Применив формулу Коши, получим:

где e - точка, находящаяся между а и х. Учитывая, что f(a) = g(a) = 0:

Пусть при х®а отношение стремится к некоторому пределу. Т.к. точка e лежит между точками а и х, то при х®а получим e®а, а следовательно и отношение стремится к тому же пределу. Таким образом, можно записать:

.

Теорема доказана.

 

Таблица эквивалентности бесконечно малых.

 

1)	.
2)	.
3)	.
4)	.
5)	.
6)	().
)	.
7)	().
)	.

 

3. Вычислить интеграл .

 

 

БИЛЕТ № 24.

БИЛЕТ № 1.

Линейные операции над матрицами. Умножение матриц.

Матрицей размера m´n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются a_ij, где i- номер строки, а j- номер столбца.

А =

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

c_ij = a_ij ± b_ij

С = А + В = В + А.

Операция умножения матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению каждого элемента матрицы на это число.

a (А+В) =aА ± aВ

А(a±b) = aА ± bА

Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам: A×B = C; .

Из определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Свойства операции умножения матриц:

1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.

Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

А×Е = Е×А = А

Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:

A×O = O; O×A = O,

где О – нулевая матрица.

2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:

(АВ)С=А(ВС).

3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:

А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС.

4) Если произведение АВ определено, то для любого числа a верно соотношение:

a(AB) = (aA)B = A(aB).

5) Если определено произведение АВ, то определено произведение В^ТА^Т и выполняется равенство:

(АВ)^Т = В^ТА^Т, где

индексом Т обозначается транспонированная матрица.

6) Для любых квадратных матриц det (AB) = detA×detB.

 

2. Неопределённый интеграл. Определение, таблица.

Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением: F(x) + C.

Записывают:

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

 

 

Интеграл	Значение	Интеграл	Значение
		-ln½cosx½+C			ex + C
		ln½sinx½+ C			sinx + C
					-cosx + C
					tgx + C
					-ctgx + C
		ln			arcsin + C