Геометрические приложения двойного интеграла

Геометрические приложения двойного интеграла

a) с помощью двойного интеграла вычисляют площади плоских фигур: – в декартовых координатах, – в полярных координатах; б) двойной интеграл применяют для вычисления объемов тел. Пусть геометрическое тело ограничено с боков цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси OZ, а сверху и снизу – поверхностями где (x,y) D (D – проекция тела на плоскость OXY) (рис. 6). Тогда объем этого тела вычисляют с помощью двойного интеграла:

13. задачи приводящие к понятию дифференциального уравнения

Задача 1. На плоскости XOY найти кривую, которая в каждой своей точке имеет касательную, образующую с положительным направлением оси Ox угол, тангенс которого равен удвоенной абсциссе точки касания.

Решение. Пусть уравнение искомой кривой y = f (x).

Обозначим через α угол, образованный касательной МТ с положительным направлением оси Ох. Как известно, угловой коэффициент касательной МТ есть tg α, и он равен производной от y по x, так что

tg α = y ' (1.1)

С другой стороны, по условию задачи имеем

tg α = 2x. (1.2)

Приравнивая значения tg α, определяемые формулами (1.1) и (1.2) получим

y ' = 2x. (1.3)

Решением дифференциального уравнения (1.3) является любая первообразная для функции 2x. Например, решением будет

y = x2. (1.4)

Как известно из интегрального исчисления, все первообразные для функции 2x и, следовательно, все решения дифференциального уравнения (1.3) даются формулой

y = x2 + С, (1.5)

где С — произвольная постоянная.

Дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений, т.е. условию задачи удовлетворяет не одна кривая, а целое семейство кривых — парабол. Но если в условие задачи добавить точку M0 (x0, y0), через которую проходит искомая кривая, то получим единственную кривую. Для этого достаточно заменить в уравнении (1.5) координаты x и y координатами точки M0

y0 = x2 + С. (1.6)

и, найдя из полученного уравнения значение произвольной постоянной С, подставить его в уравнение (1.5). Выполняя указанные выкладки, имеем: С = y0 – , y = x2 – + y0.

Таким образом, искомой кривой будет парабола y = x2 – + y0.

Задача 2. Предположим, что материальная точка P движется по прямой, которую принимаем за ось Ox. Пусть известна скорость движения как функция от времени t; обозначим ее через f (t) и будем предполагать, что она непрерывна при всех рассматриваемых значениях времени t. Требуется найти закон движения точки, т. е. зависимость x от t, х = x(t), если известно, что в некоторый момент времени t0 точка занимает положение x0, так что x(t0) = x0.

Решение. Известно, что скорость движения рассматриваемой точки в момент времени t равна производной от x по t. С другой стороны, эта скорость равна f (t). Поэтому = f (t).

Равенство это есть дифференциальное уравнение движения рассматриваемой точки. Оно задает закон движения в дифференциальной форме. Интегрируя уравнение (1.7), найдем закон движения в конечной форме.