Геометрический смысл определённого интеграла

Геометрический смысл определённого интеграла

Из истории математики известно, что одной из первых задач, приведшей к понятию определенного интеграла, является задача о вычислении площади криволинейной трапеции.

Определение:

Простейшей криволинейной трапецией будем называть фигуру, ограниченную

сверху – кривой y=f (x)

снизу – осью абсцисс y=0

слева – прямой x=a

справа – прямой x=b (см. рис. 1)

Рис. 1

1. Весь отрезок [ a, b ] разобьем на п частичных промежутков [ x_i, х_i+1 ] длиной ∆x_i = x_i – х_i-1 , (i=1, 2, …, n), х₀ = a, x_п = b.

2. В каждом частичном промежутке произвольно выберем точку

3. Составим интегральную сумму

Очевидно, геометрически эта формула выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников (см. ниже рис. 2)

Рис. 2

4. Перейдем к пределу при п → ∞ при условии, что

(3)

При достаточно общих предположениях площадь ступенчатой фигуры стремится к площади криволинейной трапеции

Определение

Если существует конечный предел (3), то он называется определённым интегралом от функции f (х) по промежутку [ a, b ] и обозначается

 

Числа а и b называются, соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования, а функция f (x) – интегрируемой.

Отметим, что построенный по схеме 1) – 4) интеграл называется интегралом Римана. Однако, при менее жестких ограничениях на подинтегральную функцию такой интеграл может не существовать. Тем не менее, потребности прежде всего современной физики привели к созданию интеграла Лебега, обслуживающего более широкий класс функций. В математике используются и другие конструкции интеграла

 

Механический смысл определённого интеграла

Если известна скорость v (t) некоторого объекта в зависимости от времени t, то с помощью интегрирования можно легко определить пройденный этим объектом путь s (t), а именно,

По аналогии, если известно ускорение a (t) некоторого объекта в зависимости от времени t, то с помощью интегрирования можно легко определить скорость движения этого объекта, а именно,

Предположим, что тело движется равноускоренно с ускорением а на временном периоде (0, t), причем в начальный момент времени скорость и путь равны нулю, т.е. a (t)= v ^’(t)= a, v (0)= 0, s (0)= 0. Тогда

Итак, справедливы известные из школьного курса физики формулы

Ниже на графике ускорения (рис. 3) скорость тела численно равна площади заштрихованного прямоугольника

Рис. 3

Ниже на графике скорости (рис. 4) путь, пройденный телом за время (0, t), численно равен площади заштрихованного треугольника

Рис. 4

 

Теорема Ньютона-Лейбница

Пусть функция f (х) определена, непрерывна и интегрируема на отрезке [ a, b ].

Определение

Интегралом с переменным верхним пределом называется интеграл следующего вида:

 

Здесь х – переменный верхний предел (a<x<b), t – переменная интегрирования (a<t<x). Геометрически интеграл с переменным верхним пределом означает площадь простейшей криволинейной трапеции, ограниченной справа прямой t=x. (см. рис. 5)

Рис. 5

Имеет место утверждение

Производная от интеграла с переменным верхним пределом равна подинтегральной функции

(4)

Доказательство. Рассмотрим приращение функции F (x) в точке х:

По определению имеем

(5)

Из рисунка 5 видно, что правую часть равенства (5) можно интерпретировать так: из трапеции aAD (x+ )вычитается трапеция aACx. Ясно, что после вычитания остается узкая криволинейная трапеция xCD (x+ ) с основанием . Ее площадь выражается интегралом

(6)

Рис. 6

По предположению функция y=f (x) непрерывна на промежутке [ a, b ]. Это позволяет считать, что площадь узкой криволинейной трапеции (на рис. 6 – закрашенная область) приблизительно равна площади прямоугольника с таким же основанием и высотой f (с), где . (см. рис. 7)

Рис. 6

Таким образом, равенство (6) можно заменить приближенным равенством

или

Переходя к пределу при , получаем

что и требовалось доказать

 

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция f (х) определена, непрерывна и интегрируема на отрезке [ a, b ]. Тогда определённый интеграл находится по формуле:

Действительно,

{согласно теореме Лагранжа о дифференцируемой функции}

=

В определённом интеграле

Рассмотрим два простейших приема определенного интегрирования. Пусть функция f (x) имеет первообразную F (x). Покажем, что интеграл с переменным верхним пределом также является первообразной функцией относительно f (x).

Вычислим производную от интеграла с переменным верхним пределом:

{воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница}

=

Далее - первообразная f (x)

Верно ли тождество

?

Да, верно. В самом деле, переобозначение переменной интегрирования — это не замена переменной интегрирования.

Не всякий определённый интеграл с переменным верхним пределом может быть выражен в виде комбинации элементарных функций. В качестве примера таких интегралов, которые получили название специальных функций, приведём

— интегральный синус

— интеграл вероятностей

 

Теорема о среднем

Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ]. Тогда найдется такая точка ξ (a, b), что выполняется равенство

, где ξ (a, b)

Для обоснования этого равенства будем исходить из формулы Ньютона-Лейбница

{по теореме Лагранжа} =

=

Каков геометрический смысл теоремы о среднем?

Всегда можно подобрать такую высоту прямоугольника, чтобы его площадь равнялась площади криволинейной трапеции с тем же основанием.

 

Оценка интеграла

m (b – a) < < М (b – a), где

Это двойное неравенство является очевидным следствием теоремы о среднем

 

Пусть f [ u (x)] непрерывна, а функция u (х) дифференцируема на [ а, b ], причём u (а) = с, u (b) = d. Тогда

Заметим, что пределы интегрирования изменяются. Итак, формула замены переменной в определенном интеграле такова:

 

Пример 1. Вычислить .

Решение.

 

Выполним перенос производной под знаком интеграла , если функции u (х) и v (x) дифференцируемы на отрезке [ a, b ]. Для этого используем формулу дифференцирования произведения функций

или

Теперь проинтегрируем это равенство

= 1 <

и окончательно получим:

Итак, формула интегрирования по частям в сокращенной записи такова:

 

 

 

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение.

Решение.

 

 

Найдем объём тела вращения, если он ограничен плоскостями х = а, х = b и поверхностью, образованной вращением кривой у = f (x).

В качестве элемента интегральной суммы примем объём диска:

Переходя к пределу при , получаем следующую формулу вычисления объема тела вращения:

Пример 2. Найти объем шара радиуса R.

Решение. Вращением какой кривой описывается шар? Ответ: Вращением полуокружности. Уравнение верхней центральной полуокружности радиуса R: Отсюда получаем

Несобственные интегралы

До сих пор мы занимались вычислением интегралов на ограниченном промежутке от ограниченной функции. В некоторых случаях эти ограничения на область и на функцию можно снять.Однако, прежде чем вычислять, такие интегралы необходимо сначала исследовать на сходимость.

Интеграл называется несобственным интегралом 1 рода, если его область интегрирования неограниченна, т.е. один из пределов или оба сразу принимают бесконечные значения

Интеграл называется несобственным интегралом 2 рода, если его подынтегральная функция неограниченна, т.е. минимум или (и) максимум функции в некоторой точке промежутка интегрирования принимают бесконечные значения

Говорят, что несобственный интеграл сходится, если существует предел этого интеграла в точке разрыва подынтегральной функции или в бесконечно удалённой точке. В противном случае говорят, что несобственный интеграл расходится

Решение.

.

Ответ: Заданный интеграл расходится

 

Формула прямоугольников

Формула трапеций

Геометрический смысл определённого интеграла

Из истории математики известно, что одной из первых задач, приведшей к понятию определенного интеграла, является задача о вычислении площади криволинейной трапеции.

Определение:

Простейшей криволинейной трапецией будем называть фигуру, ограниченную

сверху – кривой y=f (x)

снизу – осью абсцисс y=0

слева – прямой x=a

справа – прямой x=b (см. рис. 1)

Рис. 1

1. Весь отрезок [ a, b ] разобьем на п частичных промежутков [ x_i, х_i+1 ] длиной ∆x_i = x_i – х_i-1 , (i=1, 2, …, n), х₀ = a, x_п = b.

2. В каждом частичном промежутке произвольно выберем точку

3. Составим интегральную сумму

Очевидно, геометрически эта формула выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников (см. ниже рис. 2)

Рис. 2

4. Перейдем к пределу при п → ∞ при условии, что

(3)

При достаточно общих предположениях площадь ступенчатой фигуры стремится к площади криволинейной трапеции

Определение

Если существует конечный предел (3), то он называется определённым интегралом от функции f (х) по промежутку [ a, b ] и обозначается

 

Числа а и b называются, соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования, а функция f (x) – интегрируемой.

Отметим, что построенный по схеме 1) – 4) интеграл называется интегралом Римана. Однако, при менее жестких ограничениях на подинтегральную функцию такой интеграл может не существовать. Тем не менее, потребности прежде всего современной физики привели к созданию интеграла Лебега, обслуживающего более широкий класс функций. В математике используются и другие конструкции интеграла