Аналитическая геометрия в пространстве.

Плоскость.

1. Уравнение плоскости, проходящей через точку , перпендикулярно вектору имеет вид:

(1)

2. Общее уравнение плоскости:

, (2)

где - нормальный вектор плоскости.

3. Уравнение плоскости в отрезках:

, (3)

где a, b, c отрезки, отсекаемые плоскостью (3) на координатных осях Ox, Oy, Oz соответственно.

4. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки :

(4)

5. Углом между плоскостями вычисляется по формуле:

(5)

Условие параллельности плоскостей:

(6)

Условие перпендикулярности плоскостей:

(7)

6. Расстояние d от точки до плоскости находится по формуле:

(8)

 

Прямая линия в пространстве.

1. Общее уравнение прямой:

(9)

2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно вектору , имеет вид:

(10)

Уравнение (10) называется каноническим.

3. Пусть прямые заданы уравнениями:

и (11)

Тогда угол между этими прямыми определяется как угол между их направляющими векторами и .

Угол между прямыми (16) определяется по формуле:

(12)

Условие параллельности прямых:

(13)

 

Условие перпендикулярности прямых:

(14)

 

 

Прямая линия и плоскость в пространстве.

1. Угол между прямой и плоскостью находится по формуле:

(15)

Условие параллельности прямой и плоскости:

(16)

Условие перпендикулярности:

(17)

Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости удобно воспользоваться параметрическими уравнениями прямой (12), тогда координаты точки пересечения находятся из системы уравнений:

(18)

 

Примеры:

1. Даны точки . Написать уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярно вектору .

Решение:

Воспользуемся уравнением: .

Нормальный вектор .

Следовательно, искомое уравнение имеет вид:

2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку и перпендикулярно к прямым:

(1)

(2)

Решение:

Известны направляющие векторы прямых (1) и (2): .

Поскольку искомая прямая перпендикулярна к прямым (1) и (2), то она перпендикулярна к векторам . Тогда за направляющий вектор можно взять ,

Уравнение искомой прямой имеет вид: .

 

Задачи для самостоятельного решения.

1. Треугольник задан координатами своих вершин .

Требуется:

a) Написать уравнение стороны ;

b) Написать уравнение высоты и вычислить ее длину;

c) Найти угол между высотой и медианой ;

2. Прямые заданы уравнениями: .

Найти:

a) Расстояние между прямимы;

b) Точку пересечения прямых;

3. Написать уравнение плоскости P, проходящей через точки и параллельно вектору .

4. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно:

a) Вектору ;

b) Прямой ;

c) Прямой ;

5. Задана плоскость и прямая , причем .

Вычислить:

a) ;

b) координаты точки пересечения прямой и плоскости;

 

 

Пример решения типового расчета.

Задание №1.

Даны вершины треугольника.

Найти:

1. длину стороны ;

2. внутренний угол в радианах с точностью до 0.001;

3. уравнение высоты, проведенной через вершину ;

4. уравнение медианы, проведенной через вершину ;

5. точку пересечения высот треугольника;

6. длину высоты, опущенной из вершины ;

7. систему линейных неравенств, определяющих внутреннюю область треугольника.

8. сделать чертеж;

Решение:

1. Расстояние между точками определяется на плоскости по формуле

(1).

Тогда длина стороны находится , .

2. Угол между прямыми, угловые коэффициенты которых равны , вычисляются по формуле

(2),

где - угловой коэффициент , - угловой коэффициент .

Найдем уравнение прямых и по формуле

(3).

: .

Чтобы найти угловой коэффициент запишем уравнение в виде: .

Значит .

Уравнение прямой также находим по формуле (3).

: ; ; ;

Применяя формулу (2), имеем

.

Используя таблицу перевода градусной меры в радианную, находим рад.

3. Запишем уравнение высоты, проведенной через точку , используя уравнение прямой, проведенной по точке и направляющему вектору : .

В качестве направляющего вектора может быть выбран нормальный вектор прямой , т.е. .

Уравнение высоты имеет вид: .

Аналогично найдем уравнение высоты .

Направляющий вектор высоты .

Из курса средней школы, известно, что три высоты пересекаются в одной точке. Чтобы найти точку пересечения высот и , нужно решить систему уравнений.

. Точка пересечения высот .

4. Известно, что медиана представляет отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны (). Найдем координаты середины отрезка по формулам:

;

.

Уравнение медианы находим по формуле (3):

.

5. Длина высоты - расстояние от точки до прямой : .

Воспользуемся формулой расстояния от точки до прямой

Получим ед.

6. Запишем с помощью системы неравенств множество точек, лежащих внутри треугольника с вершинами . Уравнения сторон треугольника:

:

:

Множество внутренних точек можно рассматривать как пересечение трех полуплоскостей, из которых первая ограничена прямой и содержит точку , вторая ограничена прямой и содержит точку , третья ограничена прямой и содержит точку .

Подставим в левую часть уравнения : координаты точки .

Получим .

Следовательно, неравенство для первой полуплоскости будет .

Найдем полуплоскость, ограниченную прямой , .

Второе неравенство: .

Аналогично находится третья полуплоскость. : , .

Третье неравенство: .

Таким образом, множество внутренних точек треугольника определяется системой неравенств: .

 

Задача №2.

Докажите, что векторы компланарны и найдите линейную зависимость между ними.

Решение:

Векторы компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Вычислим смешанное произведение векторов :

Следовательно данные векторы компланарны.

Компланарность означает их линейную зависимость. Найдем эту зависимость. Выразим векторы через векторы и , т.е. .

Запишем последнее равенство в координатах:

или

Из равенства матриц получили систему линейных уравнений:

Решим эту систему методом Гаусса:

 

или .

Ответ: .

 

Задача №3.

Даны вершины пирамиды : .

Найти:

1. длину ребра ;

2. уравнение и площадь грани ;

3. уравнение и длину высоты, опущенной из вершины на грань ;

4. угол между ребром и гранью ;

5. объем пирамиды;

 

 

Решение:

1. Воспользуемся уравнением прямой в пространстве, проходящей через две точки :

(1)

Подставим координаты точек в (1), получим

:

: .

Длину ребра можно рассматривать как длину вектора .

Длина вектора определяется по формуле: .

Тогда .

2. Площадь грани находим, используя векторное произведение

;

Уравнение грани представляет собой уравнение плоскости, проходящей через три точки:

(2)

Подставляя в формулу (2) координаты точек , получим

- уравнение грани .

3. Уравнение высоты в данном случае представляет собой уравнение прямой в пространстве.

Используем каноническое уравнение прямой:

, (3)

- координаты точки ,

- координаты направляющего вектора прямой, которая перпендикулярна грани .

Следовательно, вектор нормали плоскости коллинеарен вектору высоты из вершины .

Уравнение высоты имеет вид:

Длина высоты - расстояние от точки до плоскости , воспользуемся формулой:

ед.

4. Угол между ребром и гранью найдем как угол между векторами и .

5. Объем пирамиды равен:

; ;

 

4.3. Типовой расчет:

Задача 1: Даны вершины , и треугольника.

Найти:

1. длину стороны ;

2. внутренний угол в радианах с точностью до 0.001;

3. уравнение высоты, проведенной через вершину ;

4. уравнение медианы, проведенной через вершину ;

5. точку пересечения высот треугольника;

6. длину высоты, опущенной из вершины ;

7. систему линейных неравенств, определяющих внутреннюю область треугольника.

8. сделать чертеж;

1. , и ;

2. , и ;

3. , и ;

4. , и ;

5. , и ;

6. , и ;

7. , и ;

8. , и ;

9. , и ;

10. , и ;

11. , и ;

12. , и ;

13. , и ;

14. , и ;

15. , и ;

16. , и ;

17. , и ;

18. , и ;

19. , и ;

20. , и ;

21. , и ;

22. , и ;

23. , и ;

24. , и ;

25. , и ;

26. , и ;

27. , и ;

28. , и ;

29. , и ;

30. , и ;

 

Задача 2: Докажите, что векторы компланарны и найдите линейную зависимость между ними.

 

1. , и ;

2. , и ;

3. , и ;

4. , и ;

5. , и ;

6. , и ;

7. , и ;

8. , и ;

9. , и ;

10. , и ;

11. , и ;

12. , и ;

13. , и ;

14. , и ;

15. , и ;

16. , и ;

17. , и ;

18. , и ;

19. , и ;

20. , и ;

21. , и ;

22. , и ;

23. , и ;

24. , и ;

25. , и ;

26. , и ;

27. , и ;

28. , и ;

29. , и ;

30. , и ;

 

Задача 3:

Найти:

1. длину ребра ;

2. уравнение и площадь грани ;

3. уравнение и длину высоты, опущенной из вершины на грань ;

4. угол между ребром и гранью ;

5. объем пирамиды;

 

1. , , и ;

2. , , и ;

3. , , и ;

4. , , и ;

5. , , и ;

6. , , и ;

7. , , и ;

8. , , и ;

9. , , и ;

10. , , и ;

11. , , и ;

12. , , и ;

13. , , и ;

14. , , и ;

15. , , и ;

16. , , и ;

17. , , и ;

18. , , и ;

19. , , и ;

20. , , и ;

21. , , и ;

22. , , и ;

23. , , и ;

24. , , и ;

25. , , и ;

26. , , и ;

27. , , и ;

28. , , и ;

29. , , и ;

30. , ,