Интегрирование простейших дробей

Рациональной дробью называется дробь вида , где P(x) и Q(x) – многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P(x) ниже степени многочлена Q(x); в противном случае дробь называется неправильной.

Простейшими (элементарными) дробями называются правильные дроби следующего вида:

А. .

Б. , где m – целое число, большее единицы.

В. .

Г. , где n – целое число, большее единицы.

Рассмотрим интегралы от простейших дробей:

А. .

Б. .

Вычисление интегралов от функций типа В было рассмотрено ранее в п. 1.6 «Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен».

Г. Рассмотрим теперь частный случай интеграла от простейшей дроби типа Г. Для интеграла (n – целое положительное число) имеет место следующая рекуррентная формула:

.

Эта формула позволяет после (n- 1)-кратного применения свести данный интеграл I_n к табличному интегралу .

Пример 1. Вычислить интеграл

.

Решение

Здесь . После первого применения рекуррентной формулы получим

.

К интегралу снова применяем рекуррентную формулу (полагаем )

.

Итак,

.

Окончательно имеем

.

Покажем теперь в общем виде, как интегрируются простейшие дроби типа Г. Требуется найти .

Выделим в числителе производную от квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе:

 

.

Первый интеграл в правой части равенства легко находится при помощи подстановки , а второй преобразуем так:

.

Полагая теперь и обозначая , получаем

.

Таким образом, интегрирование элементарной дроби типа Г может быть выполнено при помощи рекуррентной формулы.

Пример 2. Вычислить интеграл

.

Решение

Имеем

.

В первом интеграле произведем замену , , а во втором интеграле положим . Отсюда

 

 

.

Возвращаясь к старой переменной, получим

.

1.7.2. Интегрирование рациональных дробей с помощью
разложения на простейшие дроби

Интегрирование рациональной дроби проводится по следующему алгоритму:

1) если дана неправильная рациональная дробь, то необходимо выделить из нее целую часть, т. е. представить в виде

,

 

где M(x) – многочлен, а – правильная рациональная дробь;

2) разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители:

,

где , т. е. трехчлен имеет комплексные сопряженные корни;

3) правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби:

4) вычислить неопределенные коэффициенты . Для этого привести последнее равенство к общему знаменателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов. Можно определить коэффициенты и другим способом, придавая в полученном тождестве переменной х произвольные числовые значения.

В результате интегрирование рациональной дроби сведется к нахождению интегралов от многочлена и от простейших рациональных дробей.

Случай 1. Знаменатель имеет только действительные различные корни.

Пример. Вычислить интеграл

.

Решение

Рассмотрим подынтегральную функцию – правильная рациональная дробь. Представим ее в виде суммы простейших дробей, разложив знаменатель на множители:

;

.

Приведем к общему знаменателю и рассмотрим числители дробей

.

Полагая, что , найдем , т. е. . Если , то получим , т. е. . При получим , т. е. .

Итак,

.

Случай 2. Знаменатель имеет только действительные корни, причем некоторые из них – кратные.

Пример. Вычислить интеграл

.

Решение

Рассмотрим подынтегральную функцию – правильная рациональная дробь. Представим ее в виде суммы простейших дробей. Корни знаменателя – действительные числа, среди них есть кратные (выражению соответствует сумма трех простейших дробей).

Таким образом,

.

Приведем к общему знаменателю и рассмотрим числители дробей:

.

Сравним коэффициенты при одинаковых степенях x:

Решая полученную систему уравнений, находим неизвестные коэффициенты

.

Итак,

.

Случай 3. Среди корней имеются простые комплексные корни.

Пример 1. Вычислить интеграл

.

Решение

Рассмотрим подынтегральную функцию – неправильная рациональная дробь. Выделим целую часть

.

Представим дробь в виде суммы простейших дробей, разложив знаменатель на множители

.

Тогда

.

Приведем к общему знаменателю и рассмотрим числители дробей

.

Сравним коэффициенты при одинаковых степенях x:

Итак,

.

Пример 2. Найти интеграл

Решение

Рассмотрим подынтегральную функцию – правильная рациональная дробь. Представим в виде суммы простейших дробей. Разложим знаменатель на множители

Тогда

Приведем к общему знаменателю и рассмотрим числители дробей

Воспользуемся комбинированным способом определения коэффициентов. Перепишем предыдущее равенство в виде

Сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях и придавая значение , получаем систему:

при , ;

т. е.

Следовательно,

Случай 4. Среди корней знаменателей имеются кратные комплексные корни, т. е. разложение знаменателя содержит повторяющиеся квадратичные множители.

Пример 1. Найти интеграл

.

Решение

Так как есть двукратный множитель, то

.

Приведем к общему знаменателю и рассмотрим числители дробей

.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x

Следовательно,

.

Заметим, что данный интеграл можно было найти проще с помощью подстановки .

Пример 2. Вычислить интеграл

.

Решение

Выделим целую часть данной неправильной рациональной дроби. Для этого разделим многочлен на многочлен :

Тогда подынтегральную функцию можно представить в виде суммы целой части и дроби, в числителе которой стоит остаток от деления :

.

Тогда

.

Задания для самостоятельного решения

Вычислить интегралы:

1. (ответ: ).

2. (ответ: ).

3. (ответ: ).

4. (ответ:

).

5. (ответ: ).

6. (ответ: ).

7. (ответ: ).

8. (ответ: ).

9.

(ответ: ).

1.8. Интегрирование иррациональных функций

1. Интегралы вида , где R – рациональная функция; m₁, n₁, m₂, n₂, … – целые числа

С помощью подстановки , где s – наименьшее общее кратное чисел n₁, n₂, …, указанный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной дроби.

Пример 1. Вычислить интеграл

.

Решение

.

Пример 2. Вычислить интеграл

.

Решение

Так как наименьшее общее кратное чисел 2, 3, 6 равно 6, то

.

Интегрирование некоторых функций, рационально зависящих от , описано ранее в п. 1.6 «Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен».

2. Интегралы вида

Такой интеграл приводится к интегралу от рациональной функции новой переменной с помощью следующих подстановок Эйлера.

Первая подстановка Эйлера. Если , то полагаем

.

 

Перед корнем возьмем для определенности знак плюс. Тогда

,

откуда x определяется как рациональная функция от t:

(значит, dx тоже будет выражаться рационально через t), следовательно,

,

т. е. оказывается рациональной функцией от t.

Так как , x и dx выражаются рационально через t, то, следовательно, данный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции от t.

Пример 1. Вычислить интеграл

.

Решение

Так как , то

, , ,

.

Подставляя полученные выражения в исходный интеграл, находим

.

Вторая подстановка Эйлера. Если , то полагаем

.

 

Перед корнем возьмем для определенности знак плюс. Тогда

,

откуда x определяется как рациональная функция от t:

.

Так как , x и dx выражаются рационально через t, то, следовательно, данный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции от t.

Пример 2. Вычислить интеграл

.

Решение

Полагаем , тогда

, , ,

,

.

Подставляя полученные выражения в исходный интеграл, находим

 

.

Третья подстановка Эйлера. Пусть и – действительные корни трехчлена . Полагаем

.

Так как , то

,

,

.

Отсюда находим x как рациональную функцию от t:

.

 

Так как , x и dx выражаются рационально через t, то, следовательно, данный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции от t.

Замечание 1. Третья подстановка Эйлера применима не только при , но и при , – лишь бы многочлен имел два действительных корня.

Пример 3. Вычислить интеграл

.

Решение

Полагаем , тогда

, , , ,

, .

Подставляя полученные выражения в исходный интеграл, находим

 

.

Замечание 2. Для приведения исходного интеграла к интегралу от рациональной функции достаточно первой и третьей подстановок Эйлера. Рассмотрим трехчлен . Если , то корни трехчлена действительны и, следовательно, применима третья подстановка Эйлера. Если , то в этом случае

и трехчлен имеет знак, совпадающий со знаком a. Чтобы был действительным, нужно, чтобы трехчлен был положительным, а следовательно, должно быть . В этом случае применима первая подстановка.

3. Интегралы вида

С помощью подстановки этот интеграл приводится к рассмотренному в п. 1.8.2.

Пример 1. Вычислить интеграл

.

Решение

 

 

.

Пример 2. Вычислить интеграл

.

Решение

.

4. Интегралы дифференциальных биномов , где m, n, p – рациональные числа

Интегралы от дифференциальных биномов выражаются через элементарные функции только в трех случаях:

1) p – целое число; тогда данный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки , где s – наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n;

2) – целое число; в этом случае данный интеграл рационализируется с помощью подстановки , где s – знаменатель дроби p;

3) – целое число; в этом случае к той же цели ведет подстановка , где s – знаменатель дроби p.

Пример 1. Вычислить интеграл

.

Решение

Преобразуем подынтегральную функцию

,

т. е. – целое число. Значит, имеем первый случай интегрируемости дифференциального бинома. Поэтому следует применить подстановку , тогда и искомый интеграл принимает вид

.

Возвращаясь к исходной переменной по формуле , получим

.

Пример 2. Вычислить интеграл

.

Решение

Переписав подынтегральную функцию в виде , имеем . Так как – целое число, то имеет место второй случай интегрируемости. Используя подстановку , получим . Следовательно,

.

Пример 3. Вычислить интеграл

.

Решение

Так как , то – целое число, т. е. пример соответствует третьему случаю дифференциального бинома. Тогда

Задания для самостоятельного решения

Вычислить интегралы:

1. (ответ: ).

2. (ответ:

).

3. (ответ: ).

4. (ответ: ).

5. (ответ: ).

6. (ответ: ).

7. (ответ: ).

8. (ответ: ).

9. (ответ: ).

 

1.9. Интегрирование тригонометрических функций

1. Интегралы вида , где R – рациональная функция

Интегралы указанного вида приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью так называемой универсальной тригонометрической подстановки .

В результате этой подстановки имеем

; ;

.

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение

Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой и приведенными выше формулами:

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение

Универсальная тригонометрическая подстановка во многих случаях приводит к сложным вычислениям, так как при ее применении и выражаются через t в виде рациональных дробей, содержащих .

В некоторых случаях нахождение интегралов вида может быть упрощено:

1) если – нечетная функция относительно , т. е. если , то интеграл вычисляется с помощью подстановки ;

2) если – нечетная функция относительно , т. е. если , то интеграл вычисляется с помощью подстановки ;

3) если – четная функция относительно и , т. е. если , то к цели приводит подстановка .

Пример 3. Вычислить интеграл

Решение

Пример 4. Вычислить интеграл

Решение

 

Пример 5. Вычислить интеграл

Решение

Пример 6. Вычислить интеграл

Решение

 

 

 

 

2. Интегралы вида

Выделим два случая решения такого интеграла:

1) если n – нечетное положительное число, то применяется подстановка ; если же m – нечетное положительное число, то подстановка ;

2) если оба показателя степени m и n – четные положительные числа, то следует преобразовать подынтегральную функцию с помощью формул

,

,

.

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение

 

 

Пример 3. Вычислить интеграл

Решение

.

3. Интегралы вида и , где m – целое положительное число

При нахождении таких интегралов применяются формулы

или ,

с помощью которых последовательно понижается степень тангенса или котангенса.

Пример 1. Вычислить интеграл

.

Решение

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение

Выделим и распишем по формуле

4. Интегралы вида , ,

Тригонометрические формулы

,

,

дают возможность представить произведение тригонометрических функций в виде суммы.

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение