Тема: «Неопределенный и определенный интеграл».

1. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных формул интегрирования. Непосредственное интегрирование. Подведение под знак дифференциала.
2. Интегрирование по частям. Интегрирование подстановкой. Многочлен в комплексной области. Теорема Безу. Корни многочлена. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители.
3. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование. Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие дроби.
4. Задачи, приводящие к понятию определенных интегралов (задача о площади криволинейной трапеции, задача о массе прямолинейного стержня). Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные свойства определенного интеграла. Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенного интеграла по частям и подстановкой. Приближенное вычисление определенного интеграла: формулы прямоугольника, трапеций и Симпсона.
5. Вычисление площадей плоских фигур, уравнения которых заданы в декартов, полярных координатах и параметрически. Вычисление длин дуг кривых в декартовых, полярных координатах и для кривых, заданных параметрически.

Лекция № 5

Тема: «Обыкновенные дифференциальные уравнения».

 

1. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения 1 порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Понятие об особых решениях дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения 1 порядка: уравнения с разделяющимися переменными; однородные уравнения и приводящиеся к ним. Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка. Уравнение Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах.
2. Численные методы решения дифференциальных уравнений 1 порядка: метод Эйлера и его модификация, метод Рунге-Кута. Дифференциальные уравнения 1 порядка, неразрешенные относительно производной. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие о краевых задачах для дифференциальных уравнений. Уравнения допускающие понижение порядка.
3. Линейные дифференциальные уравнения -го порядка, однородные и неоднородные. Структура общего решения однородного уравнения. Определитель Вронского и его свойства. Формула Остроградского-Лиувилля.
4. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Случай действительных различных кратных и комплексных корней. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.

 

 

Лекция № 6.

Тема: «Кратные, криволинейные интегралы».

1. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла: объем цилиндрического тела, масса плоской пластины. Двойной интеграл, основные свойства.
2. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. Замена переменной. Переход от декартовых координат к полярным. Применение двойного интеграла к вычислению площадей, объемов, для решения задач механики и физики. Задача, приводящая к понятию тройного интеграла: объем тела, масса тела. Тройной интеграл. Основные свойства интеграла любой кратности.
3. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах. Замена переменной в кратных интегралах. Общий случай. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах. Применение тройного интеграла к задачам геометрии, механики, физики.
4. Задача о массе криволинейного стержня, приводящая к понятию криволинейного интеграла первого рода. Его определения, свойства, вычисления, геометрические и механические приложения. Задача, приводящая к понятию криволинейного интеграла второго рода (работа переменной силы).
5. Определение криволинейного интеграла второго рода, его свойства, вычисление, геометрические и механические приложения. Связь с криволинейным интеграломпервого рода. Формула Грина.

 

 

Лекция № 7.

Тема: «Числовые ряды».

 

1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия над рядами. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости, предельный признак сходимости.
2. Достаточные признаки сходимости для знакоположительных рядов: признак Даламбера, радикальный признак Коши, интегральный признак Коши.
3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Ряды с комплексными членами, методы исследования на сходимость.

Лекция № 8.