Необходимые условия существования локальных экстремумов

Из леммы Ферма вытекает следующее:

Пусть точка является точкой экстремума функции , определенной в некоторой окрестности точки .

Тогда либо производная не существует, либо .

Достаточные условия существования локальных экстремумов

· Пусть функция непрерывна в и существуют конечные или бесконечные односторонние производные . Тогда при условии

является точкой строгого локального максимума. А если

то является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке

· Пусть функция непрерывна и дважды дифференцируема в точке . Тогда при условии

и

является точкой локального максимума. А если

и

то является точкой локального минимума.

· Пусть функция дифференцируема раз в точке и , а .

Если чётно и , то - точка локального максимума. Если чётно и , то - точка локального минимума. Если нечётно, то экстремума нет.

Билет 47)

Правило Бернулли-Лопиталя — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Условия:

1. или ;

2. и дифференцируемы в проколотой окрестности ;

3. в проколотой окрестности ;

4. существует ,

тогда существует .

Пределы также могут быть односторонними

 

Билет 46)

Пусть – некоторая дифференцируемая функция, производная от которой также является дифференцируемой функцией. Производная функции обозначается символическим выражением и называется второй производной (или производной второго порядка) функции :

Запись вида

позволяет указать в явной форме переменную, по которой выполняется дифференцирование функции. Однако такое обозначение является достаточно громоздким и поэтому обычно используется его сокращенная форма:

 

Во многих задачах функция y (x) задана неявным образом. Например, для приведенных ниже функций

невозможно получить зависимость y (x) в явном виде.

Алгоритм вычисления производной y' (x) от неявной функции выглядит следующим образом:

• Сначала необходимо продифференцировать обе части уравнения по отношению к x, предполагая,
  что y - это дифференцируемая функция x и используя правило вычисления производной от сложной функции;
• Решить полученное уравнение относительно производной y' (x).

 

Производную функции , заданной параметрически, можно выразить через производные функций и : поскольку и, по формуле производной обратной функции, , то

где -- значение параметра, при котором получается интересующее нас при вычислении производной значение .

Билет 45)

Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна на замкнутом интервале [а, b], имеет внутри интервала производную и если

f(a) = f(b)

то внутри интервала [а, b] найдется хотя бы одно такое значение x₀ (a < x₀ < b), что

f ' (x₀) = 0.

Доказательство.
Функция f(x) постоянна на интервале [ а, b ]; тогда f ' (x) = 0 для любого x (a < x < b), т.е. утверждение теоремы Ролля выполняется автоматически.

 

Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на замкнутом интервале [ а, b ] и внутри него имеет производную f ' (x), то найдется хотя бы одно такое значение x₀ (a < x₀ < b), что

 

f(b) - f(a) = (b - a)f '(x).

Теорема Коши о среднем значении является обобщением теоремы Лагранжа о конечных приращениях.

 

Пусть даны две функции и такие, что:

1. и определены и непрерывны на отрезке ;

2. производные и конечны на интервале ;

3. производные и не обращаются в нуль одновременно на интервале

4. ;

тогда существует , для которой верно:

.

(Если убрать условие 4, то необходимо, например, усилить условие 3: g'(x) не должна обращаться в нуль нигде в интервале .)

Доказательство

Для доказательства введём функцию

Для неё выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка её значения равны . Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка , в которой производная функции равна нулю, а равна как раз необходимому числу.

Если х - независимая переменная и y = f(x) - дифференцируемая функция, то dx = f'(x)dx, т. е. дифференциал функции есть функция, зависящая от двух аргументов х и dx. Этот дифференциал будем называть также дифференциалом первого порядка (или первым дифференциалом).

Считая dx постоянной, получаем, что df(x) - функция одной переменной. Предположим, что функция у = f(x) имеет не только первую производную, но и n последовательных производных y" = f"(x), y’” = f”’(x).

Дифференциал от дифференциала функции у = f{x) называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d2y = d(dy), причем

Дифференциалом n-го порядка

Смотрите пример вычисления дифференциалов первого и второго порядков

Инвариантность формы дифференциала

Рассмотрим сложную функцию y=f(u(x)). Пусть функции y=f(u), u=u(x) дифференцируемы, тогда

Таким образом, если аргументом функции является функция другого аргумента, то форма дифференциала совпадает с формой дифференциала (7), когда аргументом функции является независимая переменная. Это свойство называется инвариантностью формы дифференциала.

Билет 43

Если у есть неявная функция от х, т.е. задана уравнением F(x,y)=0, не разрешенным относительно у, то для нахождения производной нужно продифференцировать по х обе части равенства, помня, что у есть функция от х, и затем разрешить полученное равенство относительно у'.

Пример. Найти производную неявной функции х²+у²-4х-10у+4=0.

Дифференцируя по х, получаем 2х+2у *у' -4-10у'=0. Выражаем у', имеем:

 

Функция задана параметрически, если зависимость функции y от аргумента x задана посредством параметра t:

Производная параметрической функции равна частному производных y и x, взятых по переменной t:

или в других обозначениях

 

Билет 42