Размещения, перестановки, сочетания. Свойства сочетаний.

Размещения.

Размещениями из элементов по называются соединения, которые можно образовать из элементов, собирая в каждое соединение по элементов, при этом соединения могут отличаться друг от друга как самими элементами, так и порядком их расположения.

Например, из 3 элементов (a,b,c) по 2 можно образовать следующие размещения: ab, ac, ba, bc, ca, cb.

Число всех возможных размещений, которые можно образовать из элементов по , обозначается символом и вычисляется по формуле:

,

(всего k множителей).

Пример:

Перестановки.

Перестановками из n элементов называются соединения, каждое из которых содержит все n элементов, отличающихся поэтому друг от друга только порядком расположения элементов.

Например, из 3 элементов (a,b,c) можно образовать следующие перестановки:

abc, bac, cab, acb, bca, cba.

Число всех возможных перестановок, которые можно образовать из n элементов, обозначается символом

(Произведение n первых целых чисел обозначается символом “ n!” и читается “ n факториал”)

 

Пример:

Сочетания.

Сочетаниями из n элементов по k называются соединения, которые можно образовать из n элементов, собирая в каждое соединение k элементов; при этом соединения отличаются друг от друга только самими элементами (различие порядка их расположения во внимание не принимается).

Например, из 3 элементов (a,b,c) по 2 можно образовать следующие сочетания:ab, ac, bc.

Число всех возможных сочетаний, которые можно образовать из n элементов по k, обозначается символом :

(В числителе и знаменателе по k множителей).

Пример:

Полезные формулы:

 

Например:

 

Дискретный и непрерывный случайный вектор. Свойства плотности распределения случайного вектора.

Пара случайных величин Х ₁, Х ₂ называется случайным вектором. Обозначение:

Чтобы задать случайный вектор, нужно перечислить:

все возможные значения Х ₁ - х ₁₁, х ₁₂,..., x _1n;

все возможные значения Х ₂ - x ₂₁, x ₂₂, …, x _2m ;

и задать вероятности всех событий H _ij = { X ₁ = x _1i}*{ X ₂ = x _2j}, которые составляют полную систему событий.

Будем обозначать p _ij = P (H _ij)

Все эти данные удобно расположить в таблице.

Случайный вектор, как и случайная величина, может интерпретироваться

как система точек на плоскости с сосредоточенными в них массами.

 

В соответствии с таблицей, таких точек mn, но если точка имеет нулевую

массу, то ее можно не изображать на рисунке.

Tеорема (свойства р _ij) Для того, чтобы р_ij были распределением

вероятностей дискретного случайного вектора

,

необходимо и достаточно выполнение условий:

 

 

Статистическое распределение выборки. Варианты. Полигон и гистограмма.

Статистическим распределением выборки.Статистическим распределением выборки называют пе­речень вариант и соответствующих им частот или относи­тельных частот. Статистическое распределение можно за­дать также в виде последовательности интервалов и соответ­ствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал). Заметим, что в теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математи­ческой статистике — соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами, или относительными частотами. Статистическое распределение записывается в виде таблицы: 1 строка – варианты; 2 строка – частоты.

n – объем выборки(частота).Иногда вместо частот используют относительную частоту:W_i = n_i / n; ΣWi = 1 Разность между наибольшим и наименьшим элементами выборки называется размахом выборки, т.е. R = x_max-x_min

При большом объеме выборки ее элементы объединяются в группы. В процессе группированного ряда подсчитываются также накопленные частоты. ñ_i* - частота i-интервала равна сумме частот: ñ₃* = ñ₁+*ñ₂*+ñ₃*

Ŵi*- накопленная относительная частота.

Полигоном частот называется ломаная линия, вершинами которой служат точки с координатами (х_i;n_i), i=1…k.Для группировки выборки строят гистограмму частот, т.е. ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников,площадь прямоугольника равна частоте ñ_i*.Площадь гистограммы равна объему выборки.

Высота прямоугольников равна ñ*_i / n.