Философское значение открытия неевклидовой геометрии

Открытие неевклидовой геометрии Лобачевским внесло коренные изменения в представления о природе пространства. Важными событиями отмечено развитие геометрии на рубеже XIX-XX веков[7]. Начиная с шестидесятых годов прошлого столетия, открытия в области геометрии становятся общематематическим достоянием. Это хорошо видно из известной "эрлангенской" программы, предложенной Феликсом Клейном (1849-1925) в 1872 г., согласно которой разделы геометрии (метрической, проективной) иерархично соподчинены по степени обобщения. Не имея возможности подробно останавливаться и даже частично осветить множество важнейших проблем развития математики и геометрии этого периода трансформации, отметим все же некоторые моменты философского плана. Созерцание было элиминировано из новых геометрических теорий: аксиомы перестали быть "очевидными истинами". Их заменили простые и чистые "начала", конвенционально выбранные как исходные моменты. Если аксиомы считаются верными, будут истинны и теоремы, корректно выведенные из них, что гарантирует истинность системы в целом[8].

Возникает вопрос: если аксиомы суть чистые постулаты в качестве исходных моментов рассуждения, то что и как страхует систему в целом? Дедуцируя теоремы одну из другой, можем ли мы быть уверены в том, что, споткнувшись об одно противоречие, система не опрокинется вместе со всем, что в ней построено? Вопрос далеко не праздный, ведь неевклидова геометрия основывается на тезисе, что истинность теории - в ее непротиворечивости. Это исходное положение "формалистической" программы Давида Гильберта (1862-1943), потерпевшей, как известно, крушение. Неудача постигла и теорию множеств Кантора из-за внутренних антиномий.

С открытием неевклидовых геометрий идея несомненных и самоочевидных истин (аксиом) была отвергнута. В зависимости от начальных принципов доказательств и их характера, проведено разделение геометрии на математическую и физическую. Первая исходит из предпосылки, что отношениями с объектами внешнего мира можно пренебречь. Вторая становится разделом физики и пытается особым образом рационализировать пространственный опыт. Так проблема истинности геометрических положений срастается с проблемой математической истины, которая сводится к набору логических следствий из аксиом, понятых как "конвенции", соглашения.

Концепция аксиом-конвенций, вытекающая из неевклидовой геометрии, повлекла за собой массу проблем. Пока под аксиомами подразумевали принципы объективной истины, когерентность системы была гарантирована. Корректная дедукция из истинных посылок порождает только истинные следствия, а две истинные пропозиции не могут противоречить друг другу. Но когда снят вопрос об истинности и ложности исходных положений, как можно исключить (даже при максимально корректной дедукции) появление противоречий?

Другая проблема, проблема полноты, состоит из двух подпроблем. Есть полнота синтаксическая и полнота семантическая. Можно ли поручиться, что выбранные для определенного метода исчисления аксиомы обладают доказательной силой для всех пропозиций? Это подпроблема синтаксической полноты. Что касается семантической полноты, то если группу аксиом мы используем для формализации определенной теории (например, Ньютоновой механики), где гарантии того, что не существует вполне истинных положений, которые недоказуемы в рамках данной группы аксиом?

Помимо упомянутых проблем когерентности и полноты есть еще проблема независимости аксиом. Откуда известно, что некая аксиома дедуктивно не получена из комплекса других аксиом той же или иной системы? Эти три проблемы когерентности, полноты и независимости были затушеваны в классической геометрии. Однако с открытиями Лобачевского и Римана они встали со всей остротой. Особенно острой стала проблема когерентности (согласованности), ибо в формальной системе разрыв связи означает крах системы (из нее можно выводить все что угодно, включая отрицание аксиом). Кроме того, доказательства полноты и независимости невозможны без доказательств когерентности. В XX веке ученые (например, Давид Гильберт) попытаются решить эти проблемы. Но Курт Гёдель похоронит позднее не одну надежду на скорое разрешение этих проблем.