Интервальные оценки параметров распределения Доверительная вероятность Доверительный интервал

Интервальное оценивание — один из видов статистического оценивания, предполагающий построение интервала, в котором с некоторой вероятностью находится истинное значение оцениваемого параметра.

Определение:

Пусть - неизвестный параметр генеральной совокупности. По сделанной выборке по определенным правилам находятся числа 1 и 2 такие чтобы выполнялось неравенство:

Интервал является доверительным интервалом для параметра 0, а число - доверительной вероятностью или надежностью сделанной оценки. Обычно надежность задается заранее, причем выбираются числа близкие к 1 (0.95, 0.99 или 0.999).

Доверительный интервал — это интервал, построенный с помощью случайной выборки из распределения с неизвестным параметром, такой, что он содержит данный параметр с заданной вероятностью.

Определение:

Пусть X1..Xn- выборка из некоторого распределения с плотностью , зависящей от параметра 0, который может изменяться в интервале . Пусть - некоторая статистика и - функция распределения случайной величины , когда выборка имеет распределение с плотностью . Предположим, что есть убывающая функция от параметра . Обозначим квантиль распределения , тогда есть возрастающая функция от . Зафиксируем близкое к нулю положительное число (например, 0,05 или 0,01). Пусть . При каждом 0 неравенства (1)

выполняются с вероятностью -1, близкой к единице. Перепишем неравенства (1) в другом виде: (2)

Обозначим , и запишем (2) в следующем виде:

Интервал называется доверительным интервалом для параметра 0, а вероятность - доверительной вероятностью.

Уровень значимости статистического теста — допустимая для данной задачи вероятность ошибки первого рода (ложноположительного решения, falsepositive), то есть вероятность отклонить нулевую гипотезу, когда на самом деле она верна.

В стандартной методике проверки статистических гипотез уровень значимости фиксируется заранее, до того, как становится известной выборка .

Чрезмерное уменьшение уровня значимости может привести к увеличению вероятности ошибки второго рода, то есть вероятности принять нулевую гипотезу, когда на самом деле она не верна. Вероятность ошибки второго рода связана с мощностью критерия простым соотношением . Выбор уровня значимости требует компромисса между значимостью и мощностью или (что то же самое, но другими словами) между вероятностями ошибок первого и второго рода.

Обычно рекомендуется выбирать уровень значимости из априорных соображений. Однако на практике не вполне ясно, какими именно соображениями надо руководствоваться, и выбор часто сводится к назначению одного из популярных вариантов . В докомпьютерную эпоху эта стандартизация позволяла сократить объём справочных статистических таблиц. Теперь нет никаких специальных причин для выбора именно этих значений.