Интеграл по комплексному переменному

Пусть - непрерывная функция комплексного , определенная в области и - гладкая кривая, лежащая в , с началом в точке и концом в точке (рис. 137), заданная уравнением

или, что все равно, двумя уравнениями

. (1)

Рис. 137

Как всегда, направление на соответствует изменению параметра от до .

Интеграл от функции вдоль кривой определяется следующим образом:

.

Если учесть, что и , то равенство (2) можно коротко записать так:

. (3)

Таким образом, из (2) видно, что интеграл по комплексному переменному есть сумма двух криволинейных интегралов, и его вычисление сводится к вычислению обыкновенных интегралов.

Интеграл (2) существует для любой непрерывной функции (в этом случае функции и также непрерывны) и любой гладкой кривой (т. е. когда , ) непрерывны и ).

Если кривая кусочно-гладкая и состоит из гладких ориентированных кусков , то по определению считаем

. (4)

На основании свойств криволинейного интеграла легко получаем

1)

,

где та же кривая, что и , но ориентированная противоположно (см. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление», § 7.4).

2)

,

где - постоянные числа.

3)

Если при , то

,

где - длина .

В самом деле, на основании свойства обыкновенного интеграла имеем

.

 

Теорема Коши. Интеграл Коши

Результат, полученный в примере 3-5, является частным случаем теоремы Коши и, если является аналитической (или только дифференцируемой) функцией в области комплексной плоскости, то интеграл по любой замкнутой кривой от равен нулю:

(48)

Теорема Коши имеет несколько важных следствий:

	интеграл от не зависит от пути интегрирования, а определяется только значениями начальной и конечной точек (см. пример 3-5 для аналитической функции ); если - объединенная граница многосвязной области (рис.17), то имеет место формула
	(49)
Рис.17

где все участки границы обходятся в положительном направлении, т. е. когда захватываемая область остается слева при движении вдоль каждой кривой ;
значение интеграла от функции по некоторой кривой, соединяющей точки и , т. е.:

(50)

будет аналитической функцией переменной , причем . Функция (50) называется первообразной, и для нее имеет место комплексный аналог формулы Ньютона-Лейбница:

(51)

Ряд Лорана

Ряд Лорана. Пусть функция f(z) аналитична в кольце ρ ≤ |z − z0| ≤ R. Тогда для любой точки этого кольца ; при этом окружности проходятся так, что область остаётся слева (следствие 3 раздела 19.7.2. Интегральная формула Коши). Изменим в интеграле по внутренней окружности направление обхода на противоположное: . Интеграл по внешней окружности преобразуем так, как и при выводе формулы Тейлора: (так как | z – z0| < | t – z0|, то ) , и ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать: , где . Интеграл по внутренней окружности преобразуем аналогично, учитывая только, что на Lρ | t – z0| < | z – z0|: . И здесь ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать: , где . Переобозначим n → −n, тогда форма коэффициентов ряда для Lρ совпадёт с формой коэффициентов ряда для LR: поэтому окончательно для интеграла по Lρ получим . Докажем, что и контур для вычисления коэффициентов может быть взят один и тот же. Действительно, пусть Γ - кусочно-гладкий контур, расположенный в кольце ρ ≤ |z − z0| ≤ R, и точка z0 расположена внутри этого контура. По теореме Коши для многосвязной области ; , поэтому для любого n , и
.
Этот ряд (содержащий и положительные, и отрицательные степени (z – z0), называется рядом Лорана функции f(z). Его часть, содержащая неотрицательные степени (), называется правильной; часть, содержащая отрицательные степени (), называется главной. Правильная часть, по самому своему построению, сходится в круге | z – z0| ≤ R, главная - во внешности круга | z – z0| ≥ ρ, поэтому весь ряд сходится в пересечении этих областей, т.е. в кольце ρ ≤ | z – z0| ≤ R. Так же, как и для ряда Тейлора, разложение в ряд Лорана единственно.
Еще раз подчеркнем, что в ряд Лорана раскладывается функция, аналитическая в кольце, и ширина этого кольца определяется областью аналитичности функции, т.е. разложение теряет смысл там, где функция теряет аналитичность. Рассмотрим