Системы ур-ний. Матричная запись системы ур-ний.Связь между решение матричногоур-ния и решением системы.

Системы линейных однородных уравнений

Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные в первой степени. Так, например, есть линейное уравнение с одним неизвестным; - линейное уравнение с двумя неизвестными.

Если в исходной системе все свободные члены равны нулю, то система называется однородный. Такая система всегда совместна, так как она имеет нулевое решение: .

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение: , и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Если система совместна и имеет единственное решение, то она называется определенной; если же решений бесконечно много, то система называется неопределенной. При работе с системой принципиальным является вопрос о ее совместности. Пусть доказано, что система совместна. Возможны следующие случаи:

а) если система совместна, то есть и число неизвестных равно рангу матриц А и В , то она имеет единственное решение;

б) если же система совместна, но , то она имеет бесконечно много решений.

Теорема Кронекера-Капелли: Для совместности системы линейных уравнений необходимо и достаточно, что бы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы.

 

ФормулыКрамера.

Рассмотрим частный случай системы (4), когда число уравнений совпадает с числом неизвестных. Пусть для определенности , то есть система имеет вид

.

Определитель называется основным определителем данной системы. Следующие три определителя называются вспомогательными:

, , .

 

Теорема Крамера:Если определитель матрицы А то система имеет единственное решение определяющееся формулами: .

Доказательство:

АХ=B.не трудно показать что матрица Х= является решением данного уравнения ( существует т.к.определитель матрицы А ).Действительно А()=В; ( А)В=В; ЕВ=В; В=В.Верно.Покажем, что данное математическое уравнение имеет единственное решение.Пусть решение данного уравнения, тогда

АХ=В определяется формулой Х= В. То есть = ==

Заметим что определитель матрицы А(1);

А(1)=

А(2)=

- - - - - - - - - - - -- - - - - - - -

А(3)=

Алгебраические дополнения последних формулах составлены к матрицам отличных от А, но при их нахождении столбик свободных членов вычеркивается, поэтому они совпадают с соответств. алгебраич. дополнением матрицы А.Таким образом:

Замечание: При доказательстве теоремы 5 мы получили попутно способ решения систем с помощью обратной матрицы, его удобно применять если обратная матрица, матрица систем известна.

Метод Гаусса. Решение систем линейных уравнений.

Метод Гаусса

Метод Гаусса –решение СЛУ в последовательном исключении неизвестных.

Замечание1-при решениисист. Методом Гауса работают только со строками расширенной матрицы.

Существует общий метод решения системы из уравнений с неизвестными, который называется методом последовательного исключения неизвестных или методом Гаусса. Последовательное исключение неизвестных проще и короче проводить с помощью элементарных преобразований расширенной матрицы данной системы. К ним относятся:

а) перестановка местами каких-либо строк матрицы;

б) умножение или деление (сокращение) какой-либо строки матрицы на число, отличное от нуля;

в) умножение какой-либо строки матрицы на число и прибавление к другой строке.

Очевидно, что элементарные преобразования не изменяют ранга расширенной матрицы, другими словами, не нарушают равносильности исходной системы. После ряда таких преобразований исходная матрица будет приведена к одному из следующих видов:

или .

В первом случае система имеет единственное решение, во втором – либо бесконечно много решений, если , либо не имеет решений, если .