Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

Если относительно некоторой прямоугольной системы координат в пространстве даны точки M ₁(x ₁; y ₁; z ₁), M ₂(x ₂; y ₂; z ₂), M ₃(x ₃; y ₃; z ₃), принадлежащие некоторой плоскости, то уравнение этой плоскости имеет вид:

.

Уравнение плоскости в «отрезках»

Если некоторая плоскость отсекает на осях координат отрезки: а – на оси , b – на оси , с – на оси , то уравнение этой плоскости имеет вид:

.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно данному вектору

Пусть относительно некоторой прямоугольной системы координат плоскость проходит через точку M ₀(x ₀; y ₀; z ₀) перпендикулярно вектору (A; B; C). Уравнение этой плоскости будет иметь вид:

A (x - x ₀)+ B (y - y ₀)+ C (z - z ₀)=0.

Общее уравнение плоскости. Условие параллельности вектора некоторой плоскости

Какими бы способами ни была задана плоскость, ее уравнение можно привести к виду:

.

Это уравнение называется общим уравнением плоскости.

Если плоскость задана относительно прямоугольной системы координат, то коэффициенты A, B, C этого уравнения служат координатами вектора нормали к данной плоскости: (A; B; C).

Вектор параллелен плоскости, определяемой уравнением , тогда и только тогда, когда выполняется условие:

Ap ₁+ Bp ₂+ Cp ₃=0.

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки M ₀(x ₀; y ₀; z ₀) до плоскости, определяемой в прямоугольной системе координат общим уравнением , находится с помощью формулы:

.

Прямая в пространстве

 

Вектор, параллельный прямой, называется направляющим вектором прямой.

Различные способы задания прямой

Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.

Прямая, проходящая через точку M ₀(x ₀; y ₀; z ₀) параллельно направляющему вектору , определяется или параметрическими уравнениями:

x = x ₀+ ₁ t,

y = y ₀+ ₂ t,

z = z ₀+ ₃ t,

где t – параметр, принимающий произвольные значения, или каноническими уравнениями вида:

.

(В этом уравнении отношения рассматриваются как пропорция, а не как дроби).

 

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

Прямая как линия пересечения двух плоскостей определяется системой уравнений этих плоскостей:

Координаты ₁, ₂, ₃ направляющего вектора этой прямой равны:

, , ,

т.е. .

Уравнения прямой, проходящей через две точки

Канонические уравнения прямой, проходящей через две данные точки M ₁(x ₁; y ₁; z ₁), M ₂(x ₂; y ₂; z ₂), имеют вид:

.

15 Способы задания прямой в пространстве.

5.3. Прямая в пространстве

 

Вектор, параллельный прямой, называется направляющим вектором прямой.

Различные способы задания прямой

Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.

Прямая, проходящая через точку M ₀(x ₀; y ₀; z ₀) параллельно направляющему вектору , определяется или параметрическими уравнениями:

x = x ₀+ ₁ t,

y = y ₀+ ₂ t,

z = z ₀+ ₃ t,

где t – параметр, принимающий произвольные значения, или каноническими уравнениями вида:

.

(В этом уравнении отношения рассматриваются как пропорция, а не как дроби).