Решение Д.У. типа F(y,y’,y’’)

^{3. Рассмотрим уравнение вида , т.е. уравнение, в запись которого явно не входит независимая переменная. Такое уравнение можно решить, введя новую неизвестную функцию . Сделав замену переменной и учитывая, чт}

^{где , получим уравнение первого порядка относительно новой искомой функции p(y) и новой независимой переменной y, т.е. понизим порядок исходного уравнения на одну единицу. Если удастся отыскать общее решение полученного уравнения первого порядка, т.е. , то для нахождения общего решения исходного уравнения необходимо решить следующее дифференциальное уравнение первого порядка . Это уравнение является уравнением первого порядка с разделяющимися переменным}

13Линейные однородные д.у. высших порядков: Для линейного однородного дифференциального уравнения n- го порядка y ^{( n )} + a ₁(x) y ^{( n- 1)} +... + a_{n- 1} (x) y ' + a_n (x) y = 0, где y = y (x) — неизвестная функция, a ₁(x), a ₂(x),..., a_{n- 1}(x), a_n (x) — известные, непрерывные, справедливо:
1) существуют n линейно независимых решений уравнения
y ₁(x), y ₂(x),..., y_n (x);
2) при любых значениях констант c ₁,0 c ₂,..., c_n функция
y (x)= c ₁ y ₁(x)+ c ₂ y ₂(x)+...+ c_ny_n (x) является решением уравнения;
3) для любых начальных значений x ₀, y ₀, y _0,1,..., y _{0, n- 1} существуют такие значения c *₁, c * _n,..., c * _n, что решение
y *(x)= c *₁ y ₁(x)+ c *₂ y ₂(x)+...+ c * _ny_n (x) удовлетворяет при x=x ₀ начальным условиям
y *(x ₀)= y ₀, (y *)'(x ₀)= y _0,1,...,(y *)^{(n- 1)}(x ₀)= y _{0, n- 1}.

Выражение y (x)= c ₁ y ₁(x) + c ₂ y ₂(x) +... + c_n y_n (x) называется общим решением линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка.

Совокупность n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка y ₁(x), y ₂(x),..., y_n (x) называется фундаментальной системой решений уравнения.

Если в уравнении yⁿ=f(x,y,y’,…y^n-1) функция f и ее частные производные y, y', y''… непрерывны в некоторой области содержащей значения x=x₀, y=y₀, y’=y’₀, …, то существует и при том единственное решение y=y(x) уравнения удовлетворяющего условию y(x₀)=y₀, y’(x₀)=y’₀…, которые называются начальными условиями.

Общим решением ДУ n-ого порядка называется функция y=φ(x, C1, C2…), зависящая от n- произвольных постоянных и такая, что она удовлетворяет ДУ при любом значении постоянных с, с1, с2…, а при заданных начальных условиях y(x₀)=y₀, y’(x₀)=y’₀…

14 нахождение общего решения лин.однородных д.у.

Линейные неоднородные д.у.

Линейное неоднородное уравнение данного типа имеет вид:

где p, q − постоянные числа (которые могут быть как действительными, так и комплексными). Для каждого такого уравнения можно записать соответствующее однородное уравнение:

Теорема: Общее решение неоднородного уравнения является суммой общего решения y ₀(x) соответствуюшего однородного уравнения и частного решения y ₁(x) неоднородного уравнения: