Промежутки возрастания и убывания функции. Максимум и минимум функции.

 

Определение возрастающей функции.

 

Функция y = f(x) возрастает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

 

Определение убывающей функции.

 

Функция y = f(x) убывает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

 

ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a; b), то есть при x = a и x = b, то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X.

 

К примеру, из свойств основных элементарных функций мы знаем, что y = sinx определена и непрерывна для всех действительных значений аргумента. Поэтому, из возрастания функции синуса на интервале мы можем утверждать о возрастании на отрезке .

 

Точку называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают .

 

Точку называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают .

 

Под окрестностью точки понимают интервал , где - достаточно малое положительное число.

 

Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.

 

Достаточные признаки возрастания и убывания функции.

 

На основании достточных признаков находятся промежутки возрастания и убывания функции.

- если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;

- если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

- найти область определения функции;

- найти производную функции

- решить неравенства f’(x)>0 и f’(x)<0 на области определения;

- к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.

 

Достаточные признаки экстремума функции.

Пусть функция y = f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке непрерывна. Тогда

• если при и при , то - точка максимума;

 

• если при и при , то - точка минимума.

 

Другими словами:

• если в точке функция непрерывна и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то - точка максимума;

 

• если в точке функция непрерывна и в ней производная меняет знак с минуса на плюс, то - точка минимума.

 

 

Первообразная. Неопределённый интеграл. Таблица интегралов.

 

Первообразная. Функция F(х) называется первообразной для функции f (х) на промежутке X, если для любого х из Х выполняется равенство F'(x)=f(x)

 

ТАБЛИЦА ПЕРВООБРАЗНЫХ

 

Множество первообразных функции f (x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом .
 Как следует из изложенного выше, если F (x) - некоторая первообразная функции f (x), то , где C - произвольная постоянная. Функцию f (x) принято называть подынтегральной функцией, произведение f (x) dx - подынтегральным выражением.

 

 

Свойства неопределённого интеграла, непосредственно следующие из определения:

1) .

2) (или ).

 

 

ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ